Melyek azok a konvex sokszögek, amelyekben az átlók száma prímhatvány?

Megtekintés helyben:     Megtekintés új oldalon:          Feladatlapba

Oldjuk meg a valós számok halmazán az $ \{x\} =\dfrac{x+[x]+(x)}{16} $ egyenletet, ahol $ [a] $ az $ a $ valós szám egész részét, $ \{a\} $ az $ a $ törtrészét, míg $ (a) $ az $ a $ egészre kerekített értékét jelöli.

Megtekintés helyben:     Megtekintés új oldalon:          Feladatlapba

Legyenek $ A $, $ B $ és $ C $ egy $ e $ egyenes pontjai úgy, hogy a $ B $ az $ AC $ szakasz belső pontja. Az $ AB $ és $ BC $ szakaszokra olyan $ ABD $ és $ BCE $ szabályos háromszögeket rajzolunk, amelyek $ D $ és $ E $ csúcsai az $ e $ egyenes által meghatározottak közül azonos félsíkba esnek. Legyen $ M $ az $ AE $, míg $ N $ a $ CD $ szakasz felezőpontja, továbbá az $ AE $ és $ BD $ szakaszok metszéspontja $ G $, a $ CD $ és $ BE $ szakaszok metszéspontja pedig $ H $ pont. Bizonyítsuk be, hogy ekkor az $ MNB $ háromszög szabályos, és a $ GH $ szakasz párhuzamos az $ e $ egyenessel.

Megtekintés helyben:     Megtekintés új oldalon:          Feladatlapba