Jelölje $ D $ az $ ABC $ háromszög körülírt körén az $ A $ csúcsot nem tartalmazó $ BC $ körív felezőpontját. Az $ ABC $ háromszög beírt köre érintse a háromszög $ BC $, illetve $ CA $ oldalát a $ P $, illetve a $ Q $ pontban. Keressük meg annak a pontos feltételét, hogy $ D $, $ P $ és $ Q $ egy egyenesre essen.

Megtekintés helyben:     Megtekintés új oldalon:          Feladatlapba

Minden pozitív egész számot pirosra vagy kékre színezünk az alábbiak szerint:
– Az $ 1 $ piros.
– Legyen $ k > 1 $. Ha $ k $ előállítható nála kisebb, csupa különböző piros szám szorzataként, akkor $ k $-t kékre színezzük, ha nem állítható elő ilyen módon, akkor pirosra.
(Például a $ 2 $ és a $ 3 $ piros, de a $ 6 $ kék.)
Melyek a piros színű számok?

Megtekintés helyben:     Megtekintés új oldalon:          Feladatlapba

Megadható-e négy valós szám úgy, hogy teljesüljön a következő négy feltétel mindegyike:
(1) legyen közöttük három olyan, amelyeknek az összege is és a szorzata is racionális,
(2) legyen közöttük három olyan, amelyeknek az összege racionális, a szorzata irracionális,
(3) legyen közöttük három olyan, amelyeknek az összege irracionális, a szorzata racionális, és
(4) legyen közöttük három olyan, amelyeknek az összege és a szorzata is irracionális?

Megtekintés helyben:     Megtekintés új oldalon:          Feladatlapba