Egy derékszögű háromszög mindhárom oldalának hossza a beírt kör sugarának egész számú többszöröse. Adjuk meg a két befogó arányát!

Megtekintés helyben:     Megtekintés új oldalon:          Feladatlapba

A $ 0 $-tól különböző $ a $, $ b $, $ c $ valós számokra teljesülnek az alábbi egyenlőségek:

$ \begin{cases} a^2+a=b^2 \\ b^2+b=c^2 \\ c^2+c=a^2  \end{cases} $

Bizonyítsuk be, hogy ekkor $ (a-b)(b-c)(c-a)=1 $

Megtekintés helyben:     Megtekintés új oldalon:          Feladatlapba

Anna és Bea a következő játékot játsszák. Az asztalon levő 1000 darab gyufaszálból felváltva vesznek el, mindegyikük 2-hatvány számú gyufaszálat. Aki az utolsó gyufaszálat elveszi az asztalról az veszít. Kinek van nyerő stratégiája, ha Anna kezd? Kettőhatványnak a 2 nemnegatív egész kitevős hatványait nevezzük, tehát az 1, 2, 4, 8, . . . számokat.

Megtekintés helyben:     Megtekintés új oldalon:          Feladatlapba

Két egységnégyzet megfelelő oldalai párhuzamosak, a közös rész területe $ \dfrac{1}{2} $, a közös rész kerülete pedig $ k $. Igazoljuk, hogy

$ \sqrt{8} \leq k \leq 3. $

Megtekintés helyben:     Megtekintés új oldalon:          Feladatlapba