Az $ ABCD $ konkáv deltoid $ DAB $ belső szöge $ 270^\circ $-os, két átlója pedig egyenlő hosszú. A $ BA $ és $ DA $ oldalak meghosszabbításai a deltoid másik két oldalát a $ P $ és $ Q $ pontokban metszik. Milyen arányban osztja a $ PQ $ szakasz az $ AC $ átlót?
 

Megtekintés helyben:     Megtekintés új oldalon:          Feladatlapba

Öt körön felveszünk $ 8 $ pontot ($ A $, $ B $, $ C $, $ D $, $ E $, $ F $, $ G $, $ H $) az ábrán látható módon. Hányféleképpen írhatunk $ 1 $-től $ 8 $-ig egész számokat a betűk helyére úgy, hogy az alábbiak teljesüljenek:
- minden számot pontosan egyszer használunk fel,
- minden körön ugyanannyi a rajta szereplő számok összege.

Megtekintés helyben:     Megtekintés új oldalon:          Feladatlapba

Bizonyítsa be, hogy bármely három természetes szám közül biztosan kiválasztható kettő - jelöljük őket $ a $-val és $ b $-vel - amelyekre teljesül, hogy $ a^3 b - ab^3 $ osztható $ 30 $-cal!

Megtekintés helyben:     Megtekintés új oldalon:          Feladatlapba