Hány természetes szám van a  $ \dfrac{2^{2024}-1}{2} $ és a $ \dfrac{2^{2026}+1}{4} $ racionális számok között?

Megtekintés helyben:     Megtekintés új oldalon:          Feladatlapba

Hányféleképpen lehet az első 14 pozitív egész számból 7 párt alkotni úgy, hogy mindegyik párban a nagyobbik szám legalább a kétszerese legyen a másiknak?

Megtekintés helyben:     Megtekintés új oldalon:          Feladatlapba

Egy $ 6 \times 6 $-os négyzetet oldalaival párhuzamos vágásokkal felosztunk 8 olyan téglalapra, amelyek oldalainak hosszúságai egész számok.
a) Bizonyítsuk be, hogy az így kapott téglalapok között van legalább kettő olyan, amelyeknek egyenlő a területe.
b) Adjunk példát a feltételnek megfelelő olyan felosztásra, amelyben nincs két egybevágó téglalap.

Megtekintés helyben:     Megtekintés új oldalon:          Feladatlapba

Az $ ABCD $ négyzet oldalhossza $ 5\, $cm. A négyzet $ A $ csúcsa illeszkedik egy olyan körre, amelynek a $ CD $ oldal az érintője, az érintési pontot jelöljük $ E $-vel (az $ E $ pont a $ CD $ szakasz belső pontja). Ez a kör az $ AB $ oldalt az $ F $ belső pontban, az $ AD $ oldalt a $ G $ belső pontban még metszi. Mekkora az $ AE $ szakasz hossza, ha az $ FG $ szakasz $ 6\, $cm hosszú?
 

Megtekintés helyben:     Megtekintés új oldalon:          Feladatlapba

Egy $ 8 \times 8 $-as tábla bal felső sarkából kell a jobb alsó sarkába eljuttatni egy bábut. A két játékos felváltva lép vele. Egy lépés során vagy csak jobbra, vagy csak lefelé lehet tetszőleges számú mezőt mozogni. (Mindenképpen új mezőre kell lépni.) Az a játékos nyer, aki a jobb alsó sarokba lép a bábuval.
a) Igazoljuk, hogy ebben a játékban mindig a másodiknak lépő játékosnak van nyerő stratégiája, azaz, bárhogyan játszik a kezdő játékos, mindig tud a második játékos nyerni!
b) Ha a második játékos ismeri a nyerő stratégiát és aszerint is játszik, akkor hányféle útvonalon mozoghat a bábu a bal felső sarokból a jobb alsó sarokba a játék során? (Két útvonalat akkor tekintünk különbözőnek, ha az egyik során a bábu áthalad olyan mezőn, amelyen a másik út során nem.) 

Megtekintés helyben:     Megtekintés új oldalon:          Feladatlapba