Egy $ 4 \times 4 $-es négyzetrács mezőit kiszínezzük a piros, kék, sárga színek valamelyikével úgy, hogy minden kis négyzet pontosan két szomszédjával azonos színű. (Két mező szomszédos, ha van közös oldaluk.) A színezéshez nem kell minden színt felhasználni. Hány különböző módon végezhető el a színezés?
 

Megtekintés helyben:     Megtekintés új oldalon:          Feladatlapba

Határozzuk meg a valós számoknak azokat a legfeljebb $ 5 $ elemű, nem üres $ A $ részhalmazait, amelyek a következő két tulajdonsággal rendelkeznek:
(i) ha $ a \in A $, akkor $ 1 - a \in A $;
(ii) ha $ a \in A $, akkor $ \dfrac{1}{a} \in A \ (a\ne 0) $.

Megtekintés helyben:     Megtekintés új oldalon:          Feladatlapba

Legyen $ ABC $ olyan szabályos háromszög, amelynek oldalai $ 5 $ egység hosszúságúak. A $ BC $ oldalon kijelölünk egy olyan $ D $ pontot, amelyre $ BD = 1 $. Legyen $ D $ felezőpontja annak az $ EF $ szakasznak, ahol $ E $ az $ AC $ oldal egy belső pontja, $ F $ pedig az $ AB $ oldal $ B $-n túli meghosszabbításán helyezkedik el. Milyen hosszú ekkor az $ EF $ szakasz?

Megtekintés helyben:     Megtekintés új oldalon:          Feladatlapba