Bizonyítsuk be, hogy bármely pozitív egész szám esetén fennáll az $ (n!)^2 ≥ n^n $ egyenlőtlenség, ahol $ n! = 1 \cdot 2 \cdot \ldots \cdot n $.

Megtekintés helyben:     Megtekintés új oldalon:          Feladatlapba

Van egy $ 4 \times 3 $-as pontrácsunk. A rács mind a $ 12 $ pontját pirosra vagy kékre színezzük. Hányféle olyan színezése lehet a rácsnak, amelyre teljesül, hogy a $ 12 $ pont közül bárhogy is kiválasztva $ 4 $ pontot úgy, hogy az általuk meghatározott téglalap oldalai a rácsvonalakkal párhuzamosak, egyik téglalap sem egyszínű (azaz a négy csúcsa nem mind azonos színű)?

Megtekintés helyben:     Megtekintés új oldalon:          Feladatlapba

Legyenek $ a $ és $ b $ pozitív egész számok. Bizonyítsuk be, hogy az $ a $, $ b $, $ a + b $ számok közül legalább az egyik kifejezhető két négyzetszám különbségeként.
 

Megtekintés helyben:     Megtekintés új oldalon:          Feladatlapba

Felírtuk egy táblára $ 1 $-től $ 24 $-ig a természetes számokat. Ezután minden lépésben kiválasztunk két számot a táblán lévők közül és helyettük felírjuk az $ ab + a + b $ számot. Ezt addig ismételjük, amíg csak egyetlen szám marad a táblán. Mi lehet ez a szám?

Megtekintés helyben:     Megtekintés új oldalon:          Feladatlapba

Az $ ABC $ hegyesszögű háromszögben $ AC < BC $ és $ BCA\sphericalangle = 60^\circ $. Legyen $ D $ az $ AC $ oldalegyenes olyan $ A $-tól különböző pontja, amelyre $ DB = AB $, $ E $ pedig a $ BC $ oldalegyenes olyan $ B $-től különböző pontja, amelyre $ EA = AB $. Határozzuk meg az $ EDC\sphericalangle $ nagyságát.
 

Megtekintés helyben:     Megtekintés új oldalon:          Feladatlapba