Péter és Pál tököt árulnak a falu piacán. Mindkettőjüknek négynél több portékája van. Mivel haragosok, egymásnak háttal állítják fel a bódéikat, hogy még csak ne is lássák egymás termékeit. Azt azonban nem bírják ki, hogy egymáshoz se szóljanak, amikor nagyság (tömeg) szerint növekvő sorrendben rendezik a pulton az áruikat. Dicsekszenek, azonban a rivalizálásból az derül ki, hogy ugyanannyi tököt hoztak, a tökök össztömege is megegyezik, és a sor közepén mindkét árusnál azonos tömegű tök van, továbbá legtöbbet mindketten ugyanakkora termésből hoztak, sőt még a legnagyobb is ugyanannyi kilóval több a legkisebbnél.
János bácsi Pál standjánál hallgatja végig a beszélgetést, miközben kinézi magának a második helyen álló zöldséget (mert a kettő a kedvenc száma). Korábban azt gondolta, először mindkét árus kínálatát megtekinti, csak utána választ. A hencegést hallva azonban úgy dönt, megveszi Pál portékáját, hiszen ha ennyi minden egyezik, Péternél is ugyanakkora áru áll a második helyen.
Helyesen okoskodik János bácsi? Indokoljuk a választ!
 

Megtekintés helyben:     Megtekintés új oldalon:          Feladatlapba

Legyenek $ a_1 $, $ a_2 $, $ a_3 $,  $ \ldots $, $ a_{2025} $ olyan egész számok, amelyek szorzata 2.

Mennyi lehet az $ A = \left(a_1 + \dfrac{1}{a_2} \right) \cdot \left(a_2 + \dfrac{1}{a_3} \right) \cdot \left(a_3 + \dfrac{1}{a_4} \right) \cdot  \ \ldots\ \cdot \left(a_{2025} + \dfrac{1}{a_1} \right) $ kifejezés értéke? 

Megtekintés helyben:     Megtekintés új oldalon:          Feladatlapba

A $ 0 $-tól különböző $ a $, $ b $, $ c $ egész számok teljesítik az $ \dfrac{a}{b+c^2} = \dfrac{a+c^2}{b} $ egyenlőséget. Bizonyítsuk be, hogy $ a + b + c \leq 0 $.

Megtekintés helyben:     Megtekintés új oldalon:          Feladatlapba

Egy 4 × 8-as négyzetrácsot szeretnénk hézagmentesen lefedni 1×1, 2×2, 3×3 és 4×4-es lapokkal úgy, hogy a lapok nem fedhetik egymást, és nem nyúlhatnak át a rácson. Megvalósítható-e a lefedés, és ha igen, melyik fajta lapból hányra van szükség, ha a felhasznált lapok száma összesen
a) 19,
b) 14,
c) 7?
 

Megtekintés helyben:     Megtekintés új oldalon:          Feladatlapba

Az $ ABC $ háromszögben $ D $ az $ A $ csúcsból induló belső szögfelező egy olyan pontja, amelyre az $ AC = DB $, továbbá $ ABD\sphericalangle : BAD\sphericalangle : DBC\sphericalangle = 2 : 3 : 4 $. Számítsuk ki az $ ABC $ háromszög szögeit!

Megtekintés helyben:     Megtekintés új oldalon:          Feladatlapba