Mr. X-nek 200 000 szál haja volt, amikor a lakatlan szigetre vetődött, és minden egyes hajszálának hossza éppen 5 cm volt. A hajszálak naponta 0,5 mm-et nőttek, de Mr. X nem vágott hajat, mert nem volt hozzá megfelelő eszköze, ráadásul úgyis kihullott minden nap 50 szál haja, melyek sajnálatos módon nem pótlódtak. Hány nap múlva érte el Mr. X fején a hajszálak hosszának összege a maximumát?

Megtekintés helyben:     Megtekintés új oldalon:          Feladatlapba

100 egymást követő pozitív egész szám négyzetének összege megegyezik az őket követő 99 pozitív egész négyzetének összegével. Meghatározandó ezen 199 szám legnagyobbika.

Megtekintés helyben:     Megtekintés új oldalon:          Feladatlapba

Egy majdnem szabályos H háromszög szögeinek nagysága 59,99°, 60° és 60,01°. Legyen H1 a H talpponti háromszöge, H2 a H1 talpponti háromszöge, és így tovább. Melyik a legkisebb n, melyre a Hn háromszög tompaszögű?

Megtekintés helyben:     Megtekintés új oldalon:          Feladatlapba

Egy derékszögű háromszög befogói egymást követő egész számok, átfogója pedig 5-nél nagyobb egész szám. Mekkora a háromszög kerületének legkisebb lehetséges értéke?

Megtekintés helyben:     Megtekintés új oldalon:          Feladatlapba

Egy gyárban megfigyelték, hogy a munkások óránkénti teljesítménye arányos a napi alvásmennyiségük négyzetével. Hány órát aludjanak a munkások egy nap, hogy maximális legyen a gyár termelése? (A munkások a nap minden pillanatában alszanak vagy dolgoznak.)

Megtekintés helyben:     Megtekintés új oldalon:          Feladatlapba

Két szabályos dobókockára matricaként vannak felragasztva a számok 1-tol 6-ig. A két kockán lévő 12 számmatricát levesszük, berakjuk egy zsákba, majd egyesével kihúzva őket véletlenszerűen visszaragasztjuk őket a két kocka lapjaira úgy, hogy minden lapra egy szám jusson. Ezután dobunk a két kockával, és a kapott két számot összeadjuk. Mekkora az esély arra, hogy az eredmény 7 lesz?

Megtekintés helyben:     Megtekintés új oldalon:          Feladatlapba

Jelöle A az egységnyi élhosszúságú szabályos tetraéder térfogatát. Jelölje B az egységnyi élhosszúságú szabályos oktaéder térfogatát. Határozd meg az $A/B$ arányt. A válasz a kapott tört legegyszerűbb alakjában a számláló és a nevező összege.

Megtekintés helyben:     Megtekintés új oldalon:          Feladatlapba

p, q és r olyan prímek, melyekre $ 5\le p<q<r$. Mennyi a három prím szorzata, ha tudjuk, hogy $ 2p^2-r^2\ge 49$ és $ 2q^2-r^2\le 193$?

Megtekintés helyben:     Megtekintés új oldalon:          Feladatlapba

Határozzuk meg azon x irracionális számok négyzeteinek összegét, melyekre $x^2+2x$ és $x^3-6x$ is racionális szám.

Megtekintés helyben:     Megtekintés új oldalon:          Feladatlapba

Jelölje a $ x^2+ax+b=0$ egyenlet gyökeit x₁ és x₂. Az $f(x)=\dfrac{5x+2}{2x-1}$lineáris törtfüggvénynek az x₁, x₂ helyen felvett értékeit jelölje y₁ és y₂. Határozd meg $ a^2+b^2 $ értékét, ha y₁ és y₂ kielégíti a $ 7y^2-5y-11=0 $ egyenletet.

Megtekintés helyben:     Megtekintés új oldalon:          Feladatlapba

Ismert, hogy ha $n\ge k$, akkor az$P_{n,k}(x)=\left( x^n-1\right) \left( x^{n-1}-1\right) \ldots \left( x^{n-k+1}-1\right)$polinom maradék nélkül osztható az $P_k(x)=\left( x^k-1\right) \left( x^{k-1}-1\right) \ldots \left( x-1\right)$ polinommal. Jelölje a hányadosként kapott polinomot $Q_{n,k}(x)$. Meghatározandó $Q_{10,5}(1)$ értéke.

Megtekintés helyben:     Megtekintés új oldalon:          Feladatlapba

Felveszünk a síkon 1000 általános helyzetu egyenest (semelyik három nem megy át egy ponton és semelyik ketto nem párhuzamos). Az egyenesek tartományokra osztják a síkot. Mennyi a keletkezo háromszögek legkisebb lehetséges száma?

Megtekintés helyben:     Megtekintés új oldalon:          Feladatlapba

Az $x_0,x_1,\ldots x_{5000}$ egész számokra teljesül, hogy $x_i^2=1+x_{i-2}\cdot x_{i-1}$ $(i=0,1, \ldots 5000,$ az indexeket mod 5001 értve) Mennyi $x_1^2+x_2^2+\ldots +x_{5000}^2$ legnagyobb lehetséges értéke?

Megtekintés helyben:     Megtekintés új oldalon:          Feladatlapba

Az ABCDEFGH körbe írható nyolcszögben AB = BC = CD = DE = 1 és EF = FG = GH = HA = 3. Vegyük azt a négyzetet, melynek beírt köre megegyezik a nyolcszög körülírt körével. Mekkora a négyzet és a nyolcszög területének különbsége?

Megtekintés helyben:     Megtekintés új oldalon:          Feladatlapba

Az ABCD tetraéder ABC és ABD lapjai derékszöget zárnak be, és ugyanez teljesül az ACD és BCD lapokra is. Az ABC és ABD lapok területe 10, illetve 11 területegység. A tetraéder lapjainak területe négy különbözo egész szám. Mekkora a tetraéder felszíne?

Megtekintés helyben:     Megtekintés új oldalon:          Feladatlapba

Legyen N egy négyzet alakú tartomány, és $n\ge 4$ egész szám. A négyzet belsejében lévo X pontot n-edelo pontnak nevezzük, ha a pontból lehet n darab félegyenest indítani úgy, hogy azok n darab egyforma területu háromszögre osszák a négyzetet. Hány olyan pont van a négyzet belsejében, amely 100-adoló, de nem 60-adoló?

Megtekintés helyben:     Megtekintés új oldalon:          Feladatlapba

Definiáljuk az a_n sorozatot a következo módon: $a_1=\sqrt{2}$, továbbá $a_n=\dfrac{\sqrt{3}a_n-1}{a_n+\sqrt{3}}$. Mennyi a sorozat 10. tagjának 10. hatványa? A válasz a kapott tört legegyszerubb alakjában a számláló és a nevezo összege.

Megtekintés helyben:     Megtekintés új oldalon:          Feladatlapba

Jelölje  $a$ az $x^3-3x^2+1=0$ egyenlet legnagyobb valós gyökét. Mennyi $a^{2014}$ egészrészének 17-es maradéka?

Megtekintés helyben:     Megtekintés új oldalon:          Feladatlapba

Tegyük fel, hogy egy 10 pontú gráf éleit ki lehet színezni két színnel úgy, hogy a gráf ne tartalmazzon egyszínu háromszöget. Legfeljebb hány éle lehet a gráfnak?

Megtekintés helyben:     Megtekintés új oldalon:          Feladatlapba

Az ABCD egységnyi oldalú négyzet belsejében választunk egy P és egy Q pontot. Számítsuk ki a következo kifejezés legkisebb lehetséges értékét: $\left[ 13\left( PA+QC\right) + 14PQ+15\left( PB+QD\right) \right]^2$

Megtekintés helyben:     Megtekintés új oldalon:          Feladatlapba