Peti délelott 9 és 10 óra között ránézett egy hagyományos (mutatós) órára, és érdekes dolgot vett észre: 5 perccel korábban éppen ott járt a nagymutató, ahol 5 perccel késobb a kismutató fog járni. Melyik idopontban nézett Peti az órára? A választ egész percre kerekítve, óópp alakban add meg.

Megtekintés helyben: 

   

Megtekintés új oldalon: 

        

Feladatlapba

Margitka nagyon sokat telefonál a barátnőivel. Hogy ne legyen túl sok a telefonszámlája, ezért telefonálás közben gyakran ránéz a faliórára. Legutóbb, amikor Juliskát hívta, a következőre lett figyelmes: amikor Juliska felvette a telefont, pontosan 4 óra volt: a nagymutató és a kismutató éppen 120-os szöget zárt be egymással. Amikor letette a telefont, érdekes módon szintén pontosan 120-ot zárt be a két mutató. Legalább mennyibe került Margitkának ez a telefonhívás, ha 23 Ft a percdíja?
Szolgáltatója perc alapon számláz, azaz a beszélgetés minden megkezdett percét ki kell fizetnie. Feltehetejük továbbá, hogy Margitka falióráján a mutatók folyamatosan, egyenletes sebességgel mozognak.

Megtekintés helyben: 

   

Megtekintés új oldalon: 

        

Feladatlapba

Meghatározandó a

$\sqrt{9+x\sqrt{x^2-108}}=x-3$

egyenlet legkisebb nemnegatív egész megoldása.

Megtekintés helyben: 

   

Megtekintés új oldalon: 

        

Feladatlapba

Egy trapézt az átlói négy háromszögre osztanak fel. Tudjuk, hogy két szemközti háromszög területe 50, illetve 72 egység. Hány egység a trapéz területe?

Megtekintés helyben: 

   

Megtekintés új oldalon: 

        

Feladatlapba

Az $x^2+bx+c=0$ egyenlet gyökei kettővel nagyobbak, mint az $x^2+cx+b=0$ egyenlet gyökei. Mennyi $b^2+c^2$ értéke?

Megtekintés helyben: 

   

Megtekintés új oldalon: 

        

Feladatlapba

A legkisebb pozitív egész szám, amelynek a négyzete 2 darab négyes számjegyre végződik, a 12 (a négyzete 144). Melyik pozitív egész a második legkisebb olyan négyzetszám alapja, amely 3 darab négyes számjegyre végződik?

Megtekintés helyben: 

   

Megtekintés új oldalon: 

        

Feladatlapba

Adott egy konvex 12-szög, oldalai különböző hosszúak. Hányféleképpen lehet a csúcsaiközül ötöt kiválasztani úgy, hogy az ezek által meghatározott konvex ötszög mindegyik oldala a 12-szögnek átlója legyen?

Megtekintés helyben: 

   

Megtekintés új oldalon: 

        

Feladatlapba

Egy n tagú választó testület három jelölt közül választ. Mindegyikük rangsorolja őket, az elsőnek 3, a másodiknak 2, a harmadiknak pedig 1 pontot ad. Összesítve a jelöltek pontszámát kiderült, hogy a sorrend egyértelmü, hármuk pontszáma különböző. A testület egyik tagja észrevette, hogy ha a választást úgy bonyolították volna le, hogy mindannyian csak az elsőként rangsorolt jelöltjüknek adtak volna 1 pontot, akkor a jelöltek sorrendje megfordulna. Mi az a legkisebb n érték, amelyre ez  előfordulhat?

Megtekintés helyben: 

   

Megtekintés új oldalon: 

        

Feladatlapba

Egy mértani sorozat első néhány tagjának összege 11, négyzetösszegük 341, köbösszegük 3641. Határozzuk meg a szorzatukat.

Megtekintés helyben: 

   

Megtekintés új oldalon: 

        

Feladatlapba

Egy 100 km hosszú utat bejáró busz fedélzeti számítógéppel rendelkezik, amely kiszá- molja, mennyi idő van még hátra a célbaérkezéshez. A számítás azon a feltevésen alapul, hogy a busz átlagsebessége a hátrelévő szakaszon megegyezik a már megtett szakaszon mért átlagsebességel. Negyven perccel az indulás után a számítógép 1 órának számolja a hátralévő időt. A kiszámolt idő a következő 5 órában nem változik. Hány kilométert tett meg a busz ebben az 5 óraban?

Megtekintés helyben: 

   

Megtekintés új oldalon: 

        

Feladatlapba

p, q, r és s különböző pozitív prímek, melyekre teljesül, hogy

$ 1-\dfrac{1}{p}-\dfrac{1}{q}-\dfrac{1}{r}-\dfrac{1}{s}=-\dfrac{1}{pqes}$

Meghatározandó pqrs legkisebb lehetséges értéke.

Megtekintés helyben: 

   

Megtekintés új oldalon: 

        

Feladatlapba

Az ABC háromszög oldalainak hossza BC = 5, CA = 6 és AB = 7, megfelelő magasságainak hossza m_a, m_b, m_c, magasságpontja M. Meghatározandó az $MA\cdot m_a+MB\cdot m_b+MC\cdot m_c$ összeg értéke.

Megtekintés helyben: 

   

Megtekintés új oldalon: 

        

Feladatlapba

Egy régi óra számlapjáról leestek a számok, csak a 11, a 12 és az 1 maradt a helyén. Visszaragasztottam a többi kilenc számot is, de összevissza sorrendben. Ezután minden szomszéd-párra kiszámoltam a két szám különbségét, majd összeadtam ezt a 12 számot, így 62-t kaptam. Hányféleképpen ragaszthattam vissza a számokat?

Megtekintés helyben: 

   

Megtekintés új oldalon: 

        

Feladatlapba

12 hangya ül egy kocka 12 élének felezőpontjaiban. Egyszerre mindegyik hangya feldob egy-egy pénzt majd az eredménytől függően elindul az él valamelyik végpontja felé. Mekkora a valószínűsége, hogy lesz olyan csúcs, ahol három hangya találkozik?

A válasz a kapott tört legegyszerűbb alakjában a számláló és a nevező összege.

Megtekintés helyben: 

   

Megtekintés új oldalon: 

        

Feladatlapba

A BAC $ 75^\circ$-os szögtartomány belsejében felveszünk egy P pontot úgy, hogy P pont távolsága az AB egyenestől $ 13+9\sqrt{3}$ míg az AC egyenestől $ 7\sqrt{2}-2\sqrt{6}$.  P keresztül húzunk egy egyenest úgy, hogy a lehető legkisebb területű háromszöget vágjuk le a szögtartományból. Mekkora ez a terület?

Megtekintés helyben: 

   

Megtekintés új oldalon: 

        

Feladatlapba

Mi a legnagyobb k egész szám, amire teljesül, hogy van olyan pillanat, amikor az óra három mutatója közül bármely kettő legalább k fokos szöget zár be egymással.

Tegyük fel, hogy a mutatók folytonosan, állandó sebességgel mozognak.

Megtekintés helyben: 

   

Megtekintés új oldalon: 

        

Feladatlapba

Az ABC háromszög oldalainak hossza BC = 2, AC = 5, AB = $\sqrt{39}$. Megrazoljuk az A középpontú, AC sugarú kört és a B középpontú, BC sugarú kört, melyek C -től különböző metszéspontja legyen D . Egy D-n keresztül húzott egyenes az előbb tekintett két kört D -n kívül E-ben és F-ben metszi. Húzunk E-ben és F-ben érintőket a megfelelő körhöz: ezek az érintők G-ben metszik egymást. A CG egyenes második metszéspontja az ABC háromszög körülírt körével legyen H. Határozd meg GH² értékét

Megtekintés helyben: 

   

Megtekintés új oldalon: 

        

Feladatlapba

Melyik az a legnagyobb négyjegyű $\overline{abcd}$ szám, amely egyenlő az egész számok összegével $\overline{ab}$-től $\overline{cd}$-ig? (Az összegbe $\overline{ab}$ és $\overline{cd}$ is beletartozik, és az utóbbi szám a nagyobb.)

Megtekintés helyben: 

   

Megtekintés új oldalon: 

        

Feladatlapba

Számítsd ki a pontos értékét!

$(1+4\sin^210^\circ)(1+4\sin^230^\circ)(1+4\sin^250^\circ)(1+4\sin^270^\circ)$

Megtekintés helyben: 

   

Megtekintés új oldalon: 

        

Feladatlapba

Hány olyan x₁ ; x₂ ; x₃ ; ... pozitív egészekből álló végtelen sorozat van, amelyre x₁ = 1 és az $x_n\cdot x_{n+2}=x^2_{n+1}+5$ egyenlet teljesül minden pozitív egész n esetén.

Két sorozatot különbözőnek tekintünk, ha van olyan n , amelyre az n: tagjuk különbözik.

Megtekintés helyben: 

   

Megtekintés új oldalon: 

        

Feladatlapba