Adott két párhuzamos egyenes, $ e $ és $ f $. Kijelölünk $ e $-n 5, $ f $-en pedig 4 különböző pontot.

a) Hány ($ e $-től és $ f $-től is különböző) egyenest határoz meg ez a 9 pont? Hány olyan háromszög van, amelynek mindhárom csúcsa a megadott 9 pont közül kerül ki? Hány olyan négyszög van, amelynek mindegyik csúcsa a megadott 9 pont közül kerül ki?

b) A 9 pont mindegyikét véletlenszerűen kékre vagy pirosra színezzük. Mekkora a valószínűsége annak, hogy az e egyenes 5 pontja is azonos színű és az f egyenes 4 pontja is azonos színű lesz?

Megtekintés helyben:     Megtekintés új oldalon:          Feladatlapba

A Robotvezérelt Elektromos Kisautók Nemzetközi Versenyén a versenyzők akkumulátorral hajtott modellekkel indulnak. A magyar versenyautó az első órában 45 kilométert tesz meg. Az akkumulátor teljesítményének csökkenése miatt az autó a második órában kevesebb utat tesz meg, mint az első órában, a harmadik órában kevesebbet, mint a másodikban, és így tovább: az indulás utáni n-edik órában megtett útja mindig $ 95,5\% $-a az $ (n – 1) $-edik órában megtett útjának ( $ n\in\mathbb{N}; n > 1 $).

a) Hány kilométert tesz meg a 10. órában a magyarok versenyautója? Válaszát egész kilométerre kerekítve adja meg!

A versenyen több kategóriában lehet indulni. Az egyik kategória versenyszabályai lehetővé teszik az akkumulátorcserét verseny közben is. A magyar csapat mérnökei kiszámították, hogy abban az órában még nem érdemes akkumulátort cserélni, amelyikben az autó legalább 20 km-t megtesz.

b) Az indulástól számítva legkorábban hányadik órában érdemes akkumulátort cserélni?

A "Végkimerülés" kategóriában a résztvevők azon versenyeznek, hogy akkumulátorcsere és feltöltés nélkül mekkora utat tudnak megtenni az autók. A világrekordot egy japán csapat járműve tartja 1100 km-rel.

c) Képes-e megdönteni a magyar versenyautó a világrekordot a "Végkimerülés" kategóriában?

Megtekintés helyben:     Megtekintés új oldalon:          Feladatlapba

Egy üzemben $ 4000\ cm^3 $-es, négyzet alapú, egyenes hasáb alakú, felül nyitott sütőedények gyártását tervezik. Az edények külső felületét tűzálló zománcfestékkel vonják be. (A belső felülethez más anyagot használnak.)

a) Számítsa ki, mekkora felületre kellene tűzálló zománcfesték egy olyan edény esetén, amelynek oldallapjai 6,4 cm magasak!

b) Az üzemben végül úgy határozták meg az edények méretét, hogy a gyártásukhoz a lehető legkevesebb zománcfestékre legyen szükség. Számítsa ki a gyártott edények alapélének hosszát!

c) Minőségellenőrzési statisztikák alapján ismert: 0,02 annak a valószínűsége, hogy egy véletlenszerűen kiválasztott edény selejtes. Egy áruházláncnak szállított 50 darabos tételben mekkora valószínűséggel lesz pontosan 2 darab selejtes?

Megtekintés helyben:     Megtekintés új oldalon:          Feladatlapba

A derékszögű koordináta-rendszerben az $ ABC $ háromszög csúcsai: $ A(2; 1) $, $ B(7;-4) $, $ C(11; p) $. Határozza meg a $ p $ paraméter pontos értékét, ha a háromszög $ B $ csúcsánál levő belső szöge $ 60^\circ $-os.

Megtekintés helyben:     Megtekintés új oldalon:          Feladatlapba

a) A következő két állításról döntse el, hogy igaz vagy hamis. Válaszait indokolja!

(1) Van olyan ötpontú egyszerű gráf, amelynek 11 éle van.

(2) Ha egy ötpontú egyszerű gráf minden csúcsa legalább harmadfokú, akkor biztosan van negyedfokú csúcsa is.

b) Az A, B, C, D és E pontok egy ötpontú teljes gráf csúcsai. A gráf élei közül véletlenszerűen beszínezünk hatot. Mekkora a valószínűsége annak, hogy az A, B, C, D, E pontokból és a színezett élekből álló gráf nem lesz összefüggő?

Megtekintés helyben:     Megtekintés új oldalon:          Feladatlapba