a) Legyen $ a $ és $ b $ két pozitív valós szám. Határozza meg az alábbi állítás logikai értékét (igaz vagy hamis)! Válaszát indokolja!

"Ha $ a > 6 $ és $ b > 8 $, akkor $ a $ és $ b $ számtani közepe nagyobb $ 7 $-nél."

b) Fogalmazza meg az előbbi állítás megfordítását, és határozza meg a megfordított állítás logikai értékét is! Válaszát indokolja!
c) Határozza meg az $ x $ pozitív valós szám értékét úgy, hogy a $ 7 $-nek és az $ x $-nek a harmonikus közepe $ 10 $ legyen!
d) Tudjuk, hogy az $ (A \wedge \neg B) \wedge (A \vee \neg ) $ kijelentés logikai értéke igaz. Mit lehet tudni az $ A $, $ B $ és $ C $ kijelentések logikai értékéről? Tegyen X-et az alábbi táblázat megfelelő celláiba! (Válaszait itt nem kell indokolnia.)

Megtekintés helyben:     Megtekintés új oldalon:          Feladatlapba

Amikor egy csésze forró folyadékot beviszünk egy szobába, akkor a folyadék hőmérsékletének változását jó közelítéssel – Newton lehűlési törvénye szerint – a következő képlet írja le: $ T(t)=H+\left(T(0)-H\right)\cdot 2^{ct} $. A képletben $ T(t) $ a folyadék hőmérséklete a vizsgálat kezdetétől számított $ t $ perc elteltével, $ H $ a szoba (állandónak tekinthető) hőmérséklete, $ T (0) $ a folyadék kezdeti hőmérséklete ($ T (0) > H $), $ c $ pedig a lehűlő folyadékot jellemző konstans. (A hőmérsékletet $ ^\circ C $-ban mérjük.) 

Egy csésze $ 75\ ^\circ C $-os kávét beviszünk egy $ 25\ ^\circ C $ hőmérsékletű szobába. A kávéra jellemző $ c $ érték $ -0,209 $.
a) Számítsa ki, hogy negyedóra múlva milyen hőmérsékletű lesz a kávé!
b) A vizsgálat kezdetétől számítva mennyi idő múlva hűl le a kávé $ 25,5\ ^\circ C $ hőmérsékletűre?
Egy csésze $ 85\ ^\circ C $-os hőmérsékletű kávét beviszünk egy ismeretlen hőmérsékletű szobába. $ 10 $ perc alatt a kávé $ 40\ ^\circ C $-ra hűl le.
c) Határozza meg a szoba hőmérsékletét!

Megtekintés helyben:     Megtekintés új oldalon:          Feladatlapba

a) Oldja meg az alábbi egyenletet a valós számok halmazán!

$ | 2\sin ^2x+7\sin x +1 | = 5 $

b) Határozza meg az $ f: \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R}, x \rightarrow  \sin x $ függvény grafikonja, az $ x=\dfrac{\pi}{6} $ és az $ x=\dfrac{5\pi}{6} $ egyenletű egyenesek, valamint az $ X $ tengely által közrezárt korlátos síkidom területét!

Megtekintés helyben:     Megtekintés új oldalon:          Feladatlapba

Tekintsük azokat a háromszögeket, amelyeknek $ a $, $ b $ és $ c $ oldalaira teljesül, hogy (centiméterben mérve) $ b = a + 4 $ és $ c = a + 8 $.
a) Adott egy ilyen tulajdonságú háromszög, melynek legnagyobb szöge $ 120^\circ $. Határozza meg a háromszög oldalainak hosszát!
b) Adott egy ilyen tulajdonságú háromszög, melynek leghosszabb oldala $ 24 $ cm hosszú. Határozza meg a háromszög területét!
c) Igazolja, hogy minden ilyen tulajdonságú háromszög kerülete nagyobb, mint $ 24 $ cm!

Megtekintés helyben:     Megtekintés új oldalon:          Feladatlapba