Határozza meg azt a tízes számrendszerben felírt legkisebb természetes számot, amely 57-ed részére csökken, ha az első számjegyét elhagyjuk.

Megtekintés helyben:     Megtekintés új oldalon:          Feladatlapba

Oldja meg a valós számpárok halmazán az

$\dfrac{x}{y}-1=\dfrac{y}{x};\qquad x^5+y^5+x^2+y^2=0$

egyenletrendszert.

Megtekintés helyben:     Megtekintés új oldalon:          Feladatlapba

---

Megtekintés helyben:     Megtekintés új oldalon:          Feladatlapba

Igaz-e, hogy 50 pozitív egész szám közül mindig ki lehet választani 8-at úgy, hogy a kiválasztottak közül bármely két szám különbsége osztható legyen 7-tel?

Megtekintés helyben:     Megtekintés új oldalon:          Feladatlapba

Mátyás király egy csatában aratott győzelmet ünnepel a visegrádi palotában. A trónteremben először négy hadvezérét fogadja.

a) A trónteremben a királyon és a hadvezéreken kívül más nem tartózkodik. Mindenki kezében egy-egy kupa bor van, sétálgatnak, beszélgetnek a győztes csatáról. Azt veszik észre, hogy minden pillanatban bármely két személy között a távolság különböző. A király adott jelére mindenki (a király is) átadja a kupáját a hozzá legközelebb levő személynek. Igazoljuk, hogy ezután lesz olyan személy a trónteremben, akinek a kezében egynél több kupa van.

b) A hadvezérek távozása után Mátyás király 50 lovagját fogadja a trónteremben. Mindenki kezében ismét egy-egy kupa bor van és a beszélgetés minden pillanatában bármelyik két ünneplő személy közötti távolság különböző. A király a lovagoknak is jelez, a jelre az 50 lovag és a király is átadja kupáját a hozzá legközelebb álló személynek. Mutassuk meg, hogy ezúttal is lesz olyan személy a teremben, akinek a kezében legalább két kupa van.

Megtekintés helyben:     Megtekintés új oldalon:          Feladatlapba

Az ABCD téglalap BC oldalának felezőpontja E, a CD oldal felezőpontja F. Legyen G a DE és BF szakaszok metszéspontja, G tükörképe az EF egyenesre legyen H. Bizonyítsa be, hogy az A,E,H,F pontok egy körre illeszkednek.

Megtekintés helyben:     Megtekintés új oldalon:          Feladatlapba