Melyek azok az $x$, $y$ valós számpárok, amelyekre teljesül az alábbi egyenletrendszer?

$ \begin{cases} (x+y)(x^2-y^2)=400 \\  (x-y)(x^2+y^2)=232 \end{cases}$

Megtekintés helyben:     Megtekintés új oldalon:          Feladatlapba

Legyen $f(x)$ a természetes számok halmazán értelmezett olyan függvény, amely eleget tesz az $f(x)+f(f(x))=12x+40 $ egyenletnek, és $f(21)=71$ . Feltéve, hogy a megadott tulajdonságokkal rendelkező függvény létezik, van-e olyan $x\in \mathbb(R)$ szám, amelyre $f(x)=2021 $? (Válaszát számítással indokolja.)

Megtekintés helyben:     Megtekintés új oldalon:          Feladatlapba

Egy valós számokból álló számsorozat bármely két egymást követő tagjára teljesül, hogy $ \dfrac{a_n+a_{n+1}} {2}=n+1$ és $ n\in \mathbb(N)^+$. Határozza meg a sorozat első $ 2021  $ tagjának az összegét.

Megtekintés helyben:     Megtekintés új oldalon:          Feladatlapba

Egy baráti társaság e-maileken keresztül tartja a kapcsolatot egymással. Mindenkinek pontosan másik három társának az e-mail címe van meg, és ez kölcsönös. Tudjuk, hogy bármelyik két ember közvetlenül tud egymásnak levelet küldeni, vagy létezik a társaságból olyan harmadik személy, akin keresztül tudnak levelet váltani. Sorolja fel a társaság létszámának lehetséges értékeit és szemléltesse az egyes eseteket egy-egy gráffal.

Megtekintés helyben:     Megtekintés új oldalon:          Feladatlapba

Legyen az $ ABC $ derékszögű háromszög $ AB = c $ átfogójához tartozó magasságának talppontja $ D $, a $ BCD $ és $ ADC $ háromszögekbe írható körök sugara rendre $ r_1 $ és $ r_2 $, továbbá az $ABC$ háromszög területe $ T $. Bizonyítsa be, hogy

$ r_1+r_2+\sqrt{2T}\le c $

Mekkorák a hegyesszögei annak a háromszögnek, amelyben az egyenlőség áll fenn?

Megtekintés helyben:     Megtekintés új oldalon:          Feladatlapba