Mely pozitív egész számok egyeznek meg a 3-as számrendszerbeli alakjuk számjegyei szorzatának kétszeresével?

Megtekintés helyben:     Megtekintés új oldalon:          Feladatlapba

Egy háromszög oldalainak hossza legyen $ a $, $ b $ és $ c $. Jelölje rendre $ t_a $ , $ t_b $, $ t_c $ az oldalegyeneseken a magasságtalppont és az oldalfelezőpont közötti távolságot. Bizonyítsuk be, hogy az $ a \cdot t_a $, $ b \cdot t_b $, $ c \cdot t_c $ szorzatok egyike egyenlő a másik kettő összegével.

Megtekintés helyben:     Megtekintés új oldalon:          Feladatlapba

Igazoljuk, hogy minden n nemnegatív egész számra

$ \lfloor \sqrt{n}+\sqrt{4n+2} \rfloor = \lfloor \sqrt{9n+3} \rfloor  $

(Itt $ \lfloor x \rfloor $ az $ x $ egészrészét jelöli, azaz a legnagyobb $ k $ egész számot, melyre $ k \le x $.)

Megtekintés helyben:     Megtekintés új oldalon:          Feladatlapba

Egy seregszemlén 100 katona sorakozik fel egymás mellett, balról jobbra magasság szerint növekvő sorrendben. Valamilyen sorrendben minden katonának felolvassák a nevét. Az a katona, aki a saját nevét hallja, helyet cserél a bal oldali szomszédjával, kivéve ha a sor bal szélén áll, ebben az esetben nem mozdul. Hány különböző sorrendben állhatnak a katonák a felolvasás végén?

Megtekintés helyben:     Megtekintés új oldalon:          Feladatlapba

Legyen $ m $ pozitív egész szám. Az $ M = \{0, 1, . . . , m-1\} $ halmazon tekintsük a $ \ominus $ jelölésű modulo $ m $ kivonást, azaz

$ a \ominus b = \begin{cases} a-b,\ \text{ ha } a\ge b, \\ a-b+m,\ \text{ ha } a < b \end{cases} $

Legyen $ B $ az $ M $ egy $ k $ elemű részhalmaza, és tegyük fel, hogy vannak olyan $ a, b \in B $ nem feltétlenül különböző elemek, melyekre $ a \ominus b \notin B $. Mutassuk meg, hogy ekkor a $ B $ elemeiből képezhető $ k^2 $ darab modulo $ m $ különbség közül legfeljebb $ k^2-k+1 $ lehet $ B $-beli.

Megtekintés helyben:     Megtekintés új oldalon:          Feladatlapba