Egy $ n $ főből álló társaságban a nők és férfiak számának eltérése nem nagyobb, mint $ 1 $. A társaság tagjai le tudnak úgy ülni egy kerek asztal köré, hogy ha mindenki a tőle $ k $-val jobbra levő székre ül, ahol $ k $ az $ n $-nél kisebb pozitív egész, akkor azoknak a székeknek a száma, ahol az átülés előtt is és után is férfi ül, minden lehetséges $ k $ érték esetén éppen $ 2 $. Mennyi lehet az $ n $?

Megtekintés helyben:     Megtekintés új oldalon:          Feladatlapba

Oldjuk meg a nemnegatív valós számok halmazán az alábbi egyenletet:

$ \sqrt[3]{(x+1)^2} + \sqrt[3]{(2x+1)^2 } = 2x+2 $

Megtekintés helyben:     Megtekintés új oldalon:          Feladatlapba

Tekintsük az $ ABC $ egyenlő szárú háromszöget, amelyben $ AC = BC $ . Legyen $ P $ az $ AB $ alap azon pontja, amelyre teljesül, hogy az $ APC $ háromszög beírt $ k_1 $ körének sugara ugyanakkora, mint a $ PBC $ háromszög $ PB $ oldalához hozzáírt $ k_2 $ körének a sugara. Mutassuk meg, hogy a $ k_1 $ kör $ AC $-vel párhuzamos $ e \ne AC $ érintője, valamint a $ k_2 $ kör $ BC $-vel párhuzamos $ f \ne BC $ érintője a háromszög $ AB $ alapján metszik egymást.

Megtekintés helyben:     Megtekintés új oldalon:          Feladatlapba