Az $ ABC $ hegyesszögű háromszögben legyen $ D $, $ E $ és $ F $ rendre a $ BC $, $ CA $ és $ AB $ oldal felezőpontja. Legyen $ k $ az a kör, ami áthalad $ C $-n és az $ F $ pontban érinti az $ AB $ oldalt, továbbá legyen $ ℓ $ az a kör, ami áthalad $ B $-n és az $ E $ pontban érinti az $ AC $ oldalt. Tegyük fel, hogy a $ k $ és $ ℓ $ körök két pontban, $ M $-ben és $ N $-ben, metszik egymást. Bizonyítsuk be, hogy ha az $ MN $ egyenest tükrözzük a $ D $ pontra, akkor a kapott egyenes áthalad $ A $-n.

Megtekintés helyben:     Megtekintés új oldalon:          Feladatlapba

Adott 30 lámpa és néhány kapcsoló. Minden kapcsolóhoz hozzá van rendelve a lámpák egy részhalmaza Ha használunk egy kapcsolót, akkor az összes lámpa a hozzá tartozó részhalmazban állapotot vált, azaz ami eddig fel volt kapcsolva az lekapcsolódik, ami pedig le volt kapcsolva az felkapcsolódik. Kezdetben minden lámpa le volt kapcsolva. Tudjuk, hogy minden lámpához van olyan kapcsoló, amihez a lámpa hozzá van rendelve. Határozzuk meg azt a legnagyobb k számot, melyre akárhogyan is működnek a kapcsolók, mindenképpen fel lehet kapcsolni egyszerre k darab lámpát.

Megtekintés helyben:     Megtekintés új oldalon:          Feladatlapba

Oldjuk meg a valós számok körében az alábbi egyenletrendszert:

$ \begin{cases} x^{2023}+ y^{2023}+ z^{2023} = 3  \\  x^{2025}+ y^{2025}+ z^{2025} = 3 \\ x^{2027}+ y^{2027}+ z^{2027} = 3  \end{cases} $

Megtekintés helyben:     Megtekintés új oldalon:          Feladatlapba