Budapesti Fazekas Mihály Gyakorló Általános Iskola és Gimnázium

FaceBook oldalunk

joomla facebook

Látogatók

Mai1017
Heti6976
Havi2672
Összes1976224

IP: 3.236.11.52 Unknown - Unknown 2020. július 02. csütörtök, 12:26

Ki van itt?

Guests : 138 guests online Members : No members online

Honlapok

SULINET Matematika

Oktatási Hivatal

Versenyvizsga portál
banvv

Matematika Portálok

Berzsenyi Dániel Gimnázium

berzsenyi

Óbudai Árpád Gimnázium
arpad

 

Szent István Gimnázium

sztistvan

A gondolkodás öröme
gondolkodasorome

Vegyes feladatok: VF_000006 ( VF_000006 )
Témakör: *Geomtria (mértani hely)

Egy egyenlőszárú trapézt vágjunk ketté az egyik átlójával. Az egyik levágott háromszöget csúsztassuk a síkban úgy, hogy a háromszög két csúcsa továbbra is a másik háromszöget határoló két trapézoldalon vagy meghosszabbításukon mozogjon. Milyen pályán mozog e közben a harmadik csúcs?



 

Legyen a trapéz két párhuzamos oldala AB és CD . A nem párhuzamos oldalak AD és BC. A BCD$\Delta $-et mozgatjuk. A háromszög AD oldalon mozgó csúcspontja $D'$, az AB-n mozgó $B'$, a harmadik csúcs $C'$.

Az AB'C'D' négyszög húrnégyszög, mert tudjuk, hogy a szimmetrikus trapéz húrnégyszög, s így

$ D'AB'\angle +B'C'D'\angle =DAB\angle +BCD\angle =180^{\circ}. $

Húzzuk meg a négyszög AC' átlóját. Akkor $B'AC'\angle =B'D'C'\angle $, mint kerületi szögek. De minthogy $B'D'C'\angle =BCD\angle =BAC\angle $. Ez azt jelenti, hogy az ABCD trapéz AD és AB'C'D' négyszög AC' átlója egyenlő szöget zár be AB-vel, tehát a két egyenes egybeesik. Minthogy $C' $a mozgó háromszög harmadik csúcspontja, azért a harmadik csúcspont a trapéz másik átlóján mozog, azaz fennáll a következő tétel: Ha egy egyenlőszárú trapéz egyik átlóját meghúzzuk és az így kapott két háromszög közül az egyiket úgy toljuk el a síkban, hogy a háromszög két csúcsa továbbra is a másik háromszöget határoló két oldalon maradjon, akkor a háromszög harmadik csúcspontja a trapéz másik, meg nem húzott átlóján mozog.


Megjegyzés: A harmadik csúcs eljuthat az átló $A$ csúcson túli meghosszabbításra is, ha a két háromszögcsúcs egymásután átjut a megfelelő trapézoldalak $A$-n túli meghosszabbítására. Mivel a harmadik csúcs az AB oldaltól nem lehet a BC szakasznál nagyobb távolságra, az AD oldaltól pedig CD-nél nagyobb távolságra, így legtávolabbi helyzetét az $A$ csúcs mindkét oldalán akkor éri el, mikor a belőle induló háromszögoldalak merőlegesek az AB ill. AD egyenesre. (Ez egyidejűleg következik be épp a felhasznált szögösszefüggések folytán.) Míg a háromszöget úgy mozgatjuk, hogy mindkét csúcsa egyszer megtegye oda és vissza a számára lehetséges legnagyobb utat, addig a harmadik csúcs egyszer bejárja oda és vissza a szélső helyzetek közti szakaszt.

 


QR kód

Budapesti Fazekas Mihály Gyakorló Általános Iskola és Gimnázium

QR

 

 

 

Bejelentkezés cikkíróknak