Budapesti Fazekas Mihály Gyakorló Általános Iskola és Gimnázium

FaceBook oldalunk

joomla facebook

Látogatók

Mai949
Heti6908
Havi2604
Összes1976156

IP: 3.236.11.52 Unknown - Unknown 2020. július 02. csütörtök, 11:43

Ki van itt?

Guests : 97 guests online Members : No members online

Honlapok

SULINET Matematika

Oktatási Hivatal

Versenyvizsga portál
banvv

Matematika Portálok

Berzsenyi Dániel Gimnázium

berzsenyi

Óbudai Árpád Gimnázium
arpad

 

Szent István Gimnázium

sztistvan

A gondolkodás öröme
gondolkodasorome

Vegyes feladatok: VF_000001 ( VF_000001 )
Témakör: *Algebra (egyenlet, paraméter)

Az $a$, $b$, $c$, $d$ számok milyen értékei mellett van megoldása, és hányféle megoldása van az

$ \begin{array}{l} x+y=a,\quad \quad \quad \quad z+u=c, \\ y+z=b,\quad \quad \quad \quad u+x=d \\ \end{array} $

egyenletrendszernek?



 

Összeadva egyrészt az első és harmadik, másrészt a mások és negyedik egyenletet az $x+y+z+u=a+c,\quad \quad $és${\kern 1pt}\quad y+z+u+x=b+d$ összefüggéshez jutunk. Ez csak akkor nem jelent ellentmondást, ha $a+c=b+d$. Ez tehát a megoldhatóság feltétele. Ha ez teljesül, akkor bármely három egyenletből következik már a negyedik. Így elég három egyenlet megoldását keresni. Ilyen esetben egy változót tetszés szerint választva a többi általában egyértelműen kiszámítható. Esetünkben ez mindig így van. Válasszuk pl. $u$-t tetszés szerint. Ekkor a harmadik, második és első egyenletből sorra $z=c-u$, $y=b-c+u$, $x=a-b+c-u \quad \left( {=d-u} \right)$ adódik. Ez esetben tehát az egyenletrendszernek végtelen sok megoldása van.


Megjegyzés. Ha pl. az összes konstansok pozitívok, akkor a feltétel éppen azt fejezi ki, hogy ha a, b, c, d hosszúságú pálcákból (ebben a sorrendben) négyszöget rakunk össze, úgy, hogy a pálcák az összeillesztési pontok körül egymáshoz képest elforgathatók legyenek, akkor e négyszög minden állásában, ha konvex, akkor érintő négyszög. Az egyenletek ez esetben a csúcsoktól az érintési pontokig terjedő szakaszokat szolgáltatják. Ezek a különböző négyszögállásoknál változnak. Így ez a meggondolás is mutatja, hogy végtelen sok gyök van.

 


QR kód

Budapesti Fazekas Mihály Gyakorló Általános Iskola és Gimnázium

QR

 

 

 

Bejelentkezés cikkíróknak