Budapesti Fazekas Mihály Gyakorló Általános Iskola és Gimnázium

FaceBook oldalunk

joomla facebook

Látogatók

Mai749
Heti12442
Havi41174
Összes1332840

IP: 3.83.192.109 Unknown - Unknown 2019. augusztus 25. vasárnap, 08:21

Ki van itt?

Guests : 95 guests online Members : No members online

Honlapok

SULINET Matematika

Oktatási Hivatal

Versenyvizsga portál
banvv

Matematika Portálok

Berzsenyi Dániel Gimnázium

berzsenyi

Óbudai Árpád Gimnázium
arpad

 

Szent István Gimnázium

sztistvan

A gondolkodás öröme
gondolkodasorome

Vegyes feladatok: VF_000010 ( VF_000010 )
Témakör: *Algebra (polinom)

Hozzuk lehető legegyszerűbb alakra az $ \dfrac{1}{\left( {x-1} \right)\left( {x-y} \right)\left( {x-z} \right)}+\dfrac{1}{\left( {y-x} \right)\left( {y-1} \right)\left( {y-z} \right)}+\dfrac{1}{\left( {z-x} \right)\left( {z-y} \right)\left( {z-1} \right)} $ (D) kifejezést.



 

Vonjuk össze először az első két törtet:

$ \dfrac{1}{\left( {x-1} \right)\left( {x-y} \right)\left( {x-z} \right)}+\dfrac{1}{\left( {y-x} \right)\left( {y-1} \right)\left( {y-z} \right)}= $
$ =\dfrac{-\left( {y-1} \right)\left( {y-z} \right)-\left( {x-1} \right)\left( {z-x} \right)}{\left( {x-1} \right)\left( {y-1} \right)\left( {x-y} \right)\left( {y-z} \right)\left( {z-x} \right)}= $
$ =\dfrac{x^2-y^2-z\left( {x-y} \right)-x+y}{\left( {x-1} \right)\left( {y-1} \right)\left( {x-y} \right)\left( {y-z} \right)\left( {z-x} \right)}= $
$ =\dfrac{x+y-z-1}{\left( {x-1} \right)\left( {y-1} \right)\left( {y-z} \right)\left( {z-x} \right)} $

Adjuk ehhez hozzá a harmadik törtet:

$ \dfrac{x+y-z-1}{\left( {x-1} \right)\left( {y-1} \right)\left( {y-z} \right)\left( {z-x} \right)}+\dfrac{1}{\left( {z-x} \right)\left( {z-y} \right)\left( {z-1} \right)}= $
$ =\dfrac{\left( {z-1} \right)\left( {x+y-z-1} \right)-\left( {x-1} \right)\left( {y-1} \right)}{\left( {x-1} \right)\left( {y-1} \right)\left( {z-1} \right)\left( {y-z} \right)\left( {z-x} \right)} $

A számlálót így alakíthatjuk át:

$ z\left( {x+y} \right)-\left( {x+y} \right)-z^2+1-\left( {xy-x-y+1} \right)= $
$ =-xy+xz+yz-z^2=x\left( {y-z} \right)+z\left( {y-z} \right)=\left( {y-z} \right)\left( {z-x} \right) $

E két tényező szerepel a nevezőben is s így lehet velük egyszerűsíteni. A kifejezés legegyszerűbb alakja tehát

$ \dfrac{1}{\left( {x-1} \right)\left( {y-1} \right)\left( {z-1} \right)}. $

 

2. Megoldás

Vonjuk össze mindhárom törtet. Az

$ \dfrac{-\left( {y-1} \right)\left( {z-1} \right)\left( {y-z} \right)-\left( {z-1} \right)\left( {x-1} \right)\left( {z-x} \right)-\left( {x-1} \right)\left( {y-1} \right)\left( {x-y} \right)}{\left( {x-1} \right)\left( {y-1} \right)\left( {z-1} \right)\left( {x-y} \right)\left( {y-z} \right)\left( {z-x} \right)} $

kifejezést kapjuk. Miután a nevező elsőfokú kifejezések szorzata, egyszerűsíteni csak úgy lehet, ha a tényezők valamelyikével osztható a számláló is. Ha a számláló osztható valamelyik tényezővel, akkor olyan helyettesítésre, melyre a kérdéses tényező 0 lesz, 0 kell legyen a számláló is. Könnyű látni, hogy ha $ x $ , $ y $ , vagy $ z $ helyett 1-et teszünk, akkor a számláló nem 0. Ha ellenben $ x $ helyébe $ y $ -t, vagy $ z $ -t helyettesítünk, akkor mindkét esetben 0 lesz a számláló is. Tekintsük most a számlálót úgy, mint $ x $ -nek polinomját, melyben $ y $ és $ z $ határozott mennyiségek. Ekkor $ x $ -nek másodfokú polinomja a számláló, melynek két nulla helye $ x=y $ és $ x=z $ . Tudjuk, hogy egy másodfokú polinom mindig gyöktényezős szorzatként írható. Ezek szorzatát meg kell még szorozni $ x^2 $ együtthatójával. $ x^{^2} $ -es tagot a számláló második és harmadik tagjából kapunk, $ z-1 $ és $ -\left( {y-1} \right) $ együtthatójával, tehát $ x^2 $ együtthatója $ z-y $ . A számláló tehát így alakítható szorzattá:

$ \left( {z-y} \right)\left( {x-y} \right)\left( {x-z} \right)=\left( {x-y} \right)\left( {y-z} \right)\left( {y-x.} \right) $

Ez megegyezik a nevező második három tényezőjével. Így az egész számlálóval lehet egyszerűsíteni és a kifejezés ilyen alakban írható:

$ \dfrac{1}{\left( {x-1} \right)\left( {y-1} \right)\left( {z-1} \right)}. $
 

QR kód

Budapesti Fazekas Mihály Gyakorló Általános Iskola és Gimnázium

QR

 

 

 

Bejelentkezés cikkíróknak


Joomla template: szsnjm3-001
(c) Szoldatics József (www.szolda.hu), Eszesen KFt. 2011/2016