Budapesti Fazekas Mihály Gyakorló Általános Iskola és Gimnázium

FaceBook oldalunk

joomla facebook

Látogatók

Mai1390
Heti13083
Havi41815
Összes1333481

IP: 18.232.53.231 Unknown - Unknown 2019. augusztus 25. vasárnap, 14:53

Ki van itt?

Guests : 55 guests online Members : No members online

Honlapok

SULINET Matematika

Oktatási Hivatal

Versenyvizsga portál
banvv

Matematika Portálok

Berzsenyi Dániel Gimnázium

berzsenyi

Óbudai Árpád Gimnázium
arpad

 

Szent István Gimnázium

sztistvan

A gondolkodás öröme
gondolkodasorome

Vegyes feladatok: VF_000011 ( VF_000011 )
Témakör: *Algebra (polinom)

Az $ n $ szám mely pozitív egész értékeire osztható és melyekre nem osztható $ 2^7-2 $ -vel az

$ n^7-n $

kifejezés?



 

$ 2^7-2=126=2\cdot 3^2\cdot 7. $ Ha megmutatjuk, hogy egy kifejezés 2-vel $ 3^2 $ -nel és 7-tel osztható, akkor következik, hogy osztható a szorzatukkal is, mivel e számoknak nincsenek közös tényezői. $ n^7-n $ mindig páros, mert vagy mindkét tag, vagy egy egyik sem páros. Hárommal osztva $ n $ vagy 1-et, vagy 2-t ad maradékul, vagy osztható 3-mal. Ha $ n $ osztható 3-mal, akkor $ n^7-n=n\left( {n^6-1} \right) $ 3-nak csak azzal a hatványával osztható, mint maga az $ n $ , mert $ n^6 $ osztható 3-mal és így $ n^6-1 $ nem lehet 3-mal osztható. Ha tehát $ n $ osztható 3-mal, de 9-cel nem, akkor $ n^7-n $ nem osztható $ 2^7-2 $ -vel. 3-mal nem osztható szám 3-ik hatványáról 9-cel valós oszthatóság szempontjából is tudunk valamit mondani, ugyanis ha a szám 1-et ad maradékul 3-mal osztva, akkor ilyen alakú $ 3k+1 $ , ha pedig 2-t ad maradékul, akkor $ 3l+2 $ alakban írható. Ezek köbe:

$ \left( {3k+1} \right)^3=27k^3+27k^2+9k+1=9K+1, $
$ \left( {3l+2} \right)^3=27l^3+54l^2+36l+8=9L-1, $

ahol $ K $ és $ L $ egész szám. Hogy ezt felhasználhassuk, a vizsgálandó kifejezést így alakíthatjuk át

$ n^7-n=n\left( {n^6-1} \right)=n\left( {\left( {n^3} \right)^2-1} \right)=n\left( {n^3+1} \right)\left( {n^3-1} \right). $

Innen az előzők felhasználásával látjuk, hogy $ 3k+1 $ alakú számokra az $ n^3-1 $ tényező, $ 3l+2 $ alakúra viszont $ n^3+1 $ osztható 9-cel. Nézzük végül meg, hogy mikor osztható a kifejezés 7-tel. Ha $ n $ osztható 7-tel, akkor az egész kifejezés is. Ha $ n $ nem osztható 7-tel, akkor 7-tel osztva 7-nél kisebb maradékot ad, vagyis ilyen alakú $ n=7r+s $ , ahol $ s=1,\;2,\;3,\;4,\;5 $ vagy 6. Számítsuk ki ismét a szám harmadik hatványát

$ \left( {7r+s} \right)^3=7^3r^3+3\cdot 7^2\cdot r^2\cdot s+3\cdot 7\cdot rs^2+s^3=7R+s^3, $

ahol $ R $ ismét valamilyen egész szám. $ s^3 $ lehetséges értékei 1, 8, 27,64, 125, 216. Az első második és negyedik érték egy-egy 7-tel osztható szám után következik, tehát ha $ s=1,\;2 $ vagy 4, akkor $ n^3-1 $ osztható 7-tel. Ha viszont $ s=3,\;5 $ vagy 6, akkor $ s^3 $ eggyel kisebb egy 7-tel osztható számnál, tehát ez esetben $ n^3+1 $ osztható 7-tel. $ n^7-n $ tehát minden egész $ n $ -re osztható 7-tel. Ezzel láttuk, hogy $ 2^7-2 $ minden egész $ n $ -re osztója az $ n^7-n $ értéknek, kivéve, ha $ n $ osztható 3-mal, de nem osztható 9-cel.

 

2. Megoldás

Sok oszthatósági tulajdonságot tudunk leolvasni, ha szomszédos egész számok szorzatáról van szó. Kíséreljük meg ilyen alakra hozni a vizsgálandó kifejezést.

$ N=n^7-n=n\left( {n^6-1} \right)=n\left( {n^3-1} \right)\left( {n^3+1} \right)= $
$ =n\left( {n-1} \right)\left( {n^2+n+1} \right)\left( {n+1} \right)\left( {n^2-n+1} \right). $

A két másodfokú kifejezés már nem bontható hasonló tényezők szorzatára, de nem sokkal különbözik a már talált tényezőkkel szomszédos számok: $ n-3 $ , $ n-2 $ , $ n+2 $ , $ n+3 $ közül alkalmasan kiválaszthatók szorzatától:

$ n^2-n+1=\left( {n-3} \right)\left( {n+2} \right)+7, $
$ n^2+n+1=\left( {n+3} \right)\left( {n-2} \right)+7. $

Így

$ N=\left( {n-1} \right)n\left( {n+1} \right)\left[ {\left( {n-3} \right)\left( {n+2} \right)+7} \right]\left[ {\left( {n+3} \right)\left( {n-2} \right)+7} \right]= $
$ =\left( {n-3} \right)\left( {n-2} \right)\left( {n-1} \right)n\left( {n+1} \right)\left( {n+2} \right)\left( {n+3} \right)+ $
$ +7\left( {n-1} \right)n\left( {n+1} \right)\left[ {\left( {n-3} \right)\left( {n+2} \right)+\left( {n+3} \right)\left( {n-2} \right)+7} \right]. $

Az utolsó tényezőt polinommá alakítva így írható:

$ 2n^2-5=2\left( {n-1} \right)\left( {n+1} \right)-3. $

Itt most már az első tag hét egymásutáni szám szorzata. Ha $ n $ egész szám, ezek közt legalább három egymásutáni páros szám van (ezek közül pedig legalább egy 4-gyel is osztható). A szorzat tehát páros (2-nek legalább is negyedik hatványával osztható). A hét tényező közül legalább két 3-mal osztható és pontosan egy 7-tel osztható kell hogy legyen. A szorzat tehát osztható $ 2\cdot 3^2\cdot 7 $ -tel. (Bizonyosan van a hét tényező közt 5-tel osztható is, s így ez a szorzat mindig osztható $ 2^4\cdot 3^2\cdot 5\cdot 7=2\cdot 3\cdot 4\cdot 5\cdot 6\cdot 7 $ -tel is.) A második tagban hasonlóan látható, hogy a három egymás utáni szám szorzata mindig osztható 6-tal, s így a szögletes zárójel előtti kifejezés mindig osztható $ 2\cdot 3\cdot 7 $ -tel. Azt kell tehát csak megnézni, hogy a $ 2\left( {n-1} \right)\left( {n+1} \right)-3 $ kifejezés milyen $ n $ -re osztható 3-mal. Ha $ n $ osztható 3-mal, akkor ez a kifejezés nem osztható 3-mal. Ha $ n $ nem osztható 3-mal, akkor nyilván az első tag valamelyik tényezője osztható 3-mal, s így az egész kifejezés is. Az $ n^7-n $ kifejezés tehát mindig osztható $ 2^7-2 $ -vel, csak akkor nem, ha $ n $ osztható 3-mal, de nem osztható 9-cel.

 


QR kód

Budapesti Fazekas Mihály Gyakorló Általános Iskola és Gimnázium

QR

 

 

 

Bejelentkezés cikkíróknak


Joomla template: szsnjm3-001
(c) Szoldatics József (www.szolda.hu), Eszesen KFt. 2011/2016