Budapesti Fazekas Mihály Gyakorló Általános Iskola és Gimnázium

FaceBook oldalunk

joomla facebook

Látogatók

Mai1029
Heti9970
Havi27548
Összes1217493

IP: 3.88.220.93 Unknown - Unknown 2019. június 16. vasárnap, 19:51

Ki van itt?

Guests : 68 guests online Members : No members online

Honlapok

SULINET Matematika

Oktatási Hivatal

Versenyvizsga portál
banvv

Matematika Portálok

Berzsenyi Dániel Gimnázium

berzsenyi

Óbudai Árpád Gimnázium
arpad

 

Szent István Gimnázium

sztistvan

A gondolkodás öröme
gondolkodasorome

Vegyes feladatok: VF_000013 ( VF_000013 )
Témakör: *Geometria (kör)

Adva van egy távolság, egy kör és ennek belsejében a $ P $ pont. Szerkesztendő az adott körnek olyan AB húrja, mely a $ P $ ponton áthalad és amelyre vonatkozóan az AP és BP szakaszok különbsége az adott távolsággal egyenlő.



 

Képzeljük a feladatot megoldottnak. Jelöljük az adott kör középpontját $ O $ -val és az adott AP-PB távolságot $ d $ -vel. A keresett AB húrra merőleges átmérő -- egy megoldást tekintve -- az ábra szimmetria tengelye. Ha az AB húron $ A $ pontból felmérjük a $ PB=AP\ast $ távolságot, akkor az így nyert $ P* $ pont nyilván a $ P $ tükörképe a fenti átmérőre nézve és $ AP-PB=AP-AP\ast =P\ast P=d $ (1. ábra).

Eszerint a szerkesztés menete: az $ O $ körül PO sugárral rajzolt koncentrikus körben megszerkesztjük a $ PP\ast =PP\ast '=d $ húrokat. E húrok meghosszabbításai adják az AB és $ A'B' $ megoldásokat. A megoldások száma 2, 1, 0 aszerint, amint $ d{\begin{array}{*{20}c} < \hfill \ = \hfill \ > \hfill \ \end{array} }2\cdot OP $ . Ha $ d=0 $ , akkor a két megoldás egybeolvad az OP-re merőleges húrrá.

 

2. Megoldás

Jelölés mint az 1. megoldásban. A PP* felezőpontja $ F $ egyszersmind az AB felezőpontja, tehát $ OF\bot FP $ és így az $ F $ pont rajta van az OP fölé, mint átmérő fölé rajzolt Thales-körön, továbbá $ PF=PF'=\dfrac{d}{2} $ .

A megoldhatóság feltétele, hogy $ \dfrac{d}{2}\le OP $ , ami megegyezik az 1. megoldásban talált eredménnyel. Többen azzal próbálkoztak, hogy BP-t az AP-ből a $ P $ -től számítva mérték vissza. Így mértani helyül a kör $ P $ -re vonatkozó centrális tükörképét kapták. Ezzel azonban nehezebb feladathoz jutottak: két egyenlő sugarú, egymást metsző kör közös húrjának felezőpontján át olyan szelőt húzni, melynek az adott körök különböző ívei közé eső szakasza adott hosszúságú.

 


QR kód

Budapesti Fazekas Mihály Gyakorló Általános Iskola és Gimnázium

QR

 

 

 

Bejelentkezés cikkíróknak


Joomla template: szsnjm3-001
(c) Szoldatics József (www.szolda.hu), Eszesen KFt. 2011/2016