Budapesti Fazekas Mihály Gyakorló Általános Iskola és Gimnázium

FaceBook oldalunk

joomla facebook

Látogatók

Mai1401
Heti13094
Havi41826
Összes1333492

IP: 18.232.53.231 Unknown - Unknown 2019. augusztus 25. vasárnap, 15:02

Ki van itt?

Guests : 166 guests online Members : No members online

Honlapok

SULINET Matematika

Oktatási Hivatal

Versenyvizsga portál
banvv

Matematika Portálok

Berzsenyi Dániel Gimnázium

berzsenyi

Óbudai Árpád Gimnázium
arpad

 

Szent István Gimnázium

sztistvan

A gondolkodás öröme
gondolkodasorome

Vegyes feladatok: VF_000014 ( VF_000014 )
Témakör: *Algebra (polinom)

Hozzuk legegyszerűbb alakra az

$ \dfrac{\left( {x^2-y^2} \right)^3+\left( {y^2+z^2} \right)^3+\left( {z^2+x^2} \right)^3}{\left( {x-y} \right)^3+\left( {y-z} \right)^3+\left( {z-x} \right)^3} $

kifejezést.



 

Az $ u^3+v^3=\left( {u+v} \right)\left( {u^2+uv+v^2} \right) $ azonosság alapján törtünk nevezője

$ \begin{array}{c} \;\;\;\left( {x-y} \right)^3+\left( {y-z} \right)^3+\left( {z-x} \right)^3= \ =\left( {x-y+y-z} \right)\left[ {\left( {x-y} \right)^2-\left( {x-y} \right)\left( {y-z} \right)+\left( {y-z} \right)^2} \right]+\left( {z-x} \right)^3= \ =\left( {x-z} \right)\left[ {\left( {x-y} \right)\left( {x-y-y+z} \right)+\left( {y-z} \right)^2-\left( {z-x} \right)^2} \right]= \ =\left( {x-z} \right)\left[ {\left( {x-y} \right)\left( {x-2y+z} \right)+\left( {y-z+z-x} \right)\left( {y-z-z+x} \right)} \right]= \ =\left( {x-z} \right)\left[ {\left( {x-y} \right)\left( {x-2y+z} \right)-\left( {x-y} \right)\left( {y-2z+x} \right)} \right]= \ =\left( {x-z} \right)\left( {x-y} \right)\left( {x-2y+z-y+2z-x} \right)= \ =\left( {x-z} \right)\left( {x-y} \right)\left( {3z-3y} \right)= \ =3\left( {x-y} \right)\left( {y-z} \right)\left( {z-x} \right). \ \end{array} $


Hasonlóképpen a számláló

$ \left( {x^2+y^2} \right)^3+\left( {y^2-z^2} \right)^3+\left( {z^2-x^2} \right)^3=3\left( {x^2-y^2} \right)\left( {y^2-z^2} \right)\left( {z^2-x^2} \right) $


Az adott tört tehát

$ \dfrac{3\left( {x^2-y^2} \right)\left( {y^2-z^2} \right)\left( {z^2-x^2} \right)}{3\left( {x-y} \right)\left( {y-z} \right)\left( {z-x} \right)}=\left( {x+y} \right)\left( {y+z} \right)\left( {z+x} \right). $

 

2. Megoldás

Tekintsük a nevezőt $ x $ polinomjaként. A polinommá átalakítás tényleges elvégzése nélkül is könnyen látható, hogy másodfokú polinomot kapunk, mert az első és harmadik kifejezésből adódó $ x^3 $ -os tagok összege 0-t ad. Ennek a polinomnak 0-helyei $ x=y $ és $ x=z $ , ami behelyettesítéssel azonnal látható. Így a nevező gyöktényezős előállítása azonos az $ \left( {x-y} \right)\left( {x-z} \right) $ szorzatok és az $ x^2 $ -es tag együtthatójának szorzatával. A első és harmadik kifejezésből $ x^2 $ együtthatója $ -3y+3z=3\left( {z-y} \right) $ , tehát a nevező azonos a

$ 3\left( {x-y} \right)\left( {x-z} \right)\left( {z-y} \right) $

szorzattal. Ebből megkapjuk a számlálót, ha $ x $ , $ y $ , $ z $ helyett $ x^2 $ , $ y^2 $ , $ z^2 $ -et írunk, tehát a keresett tört:

$ \dfrac{3\left( {x^2-y^2} \right)\left( {x^2-z^2} \right)\left( {z^2-y^2} \right)}{3\left( {x-y} \right)\left( {x-z} \right)\left( {z-y} \right)}=\left( {x+y} \right)\left( {y+z} \right)\left( {z+x} \right). $

 

3. Megoldás

A számláló és nevező olyan három szám köbének összege, amely három szám összege 0. Ha pedig $ a+b+c=0 $ , akkor kimutatható, hogy

$ a^3+b^3+c^3=3abc $

Ugyanis, ha

$ a+b=-c $

akkor köbre emelve

$ a^3+3a^2b+3ab^2+b^2=-c^3 $

vagyis

$ a^3+b^3+c^3=-3ab\left( {a+b} \right)=-3ab\left( {-c} \right)=3abc. $

E segédtétel egyébként közvetlenül adódik a következő azonosságból is:

$ a^3+b^3+c^3-3abc=\left( {a+b+c} \right)\left( {a^2+b^2+c^2-ab-bc-ca} \right) $

Ennek alapján kifejezésünk így írható:

$ \dfrac{3\left( {x^2-y^2} \right)\left( {y^2-z^2} \right)\left( {z^2-x^2} \right)}{3\left( {x-z} \right)\left( {y-z} \right)\left( {z-x} \right)}=\left( {x+y} \right)\left( {y+z} \right)\left( {z+x} \right). $
 

QR kód

Budapesti Fazekas Mihály Gyakorló Általános Iskola és Gimnázium

QR

 

 

 

Bejelentkezés cikkíróknak


Joomla template: szsnjm3-001
(c) Szoldatics József (www.szolda.hu), Eszesen KFt. 2011/2016