Budapesti Fazekas Mihály Gyakorló Általános Iskola és Gimnázium

FaceBook oldalunk

joomla facebook

Látogatók

Mai487
Heti2044
Havi34663
Összes1050086

IP: 18.208.211.150 Unknown - Unknown 2019. március 19. kedd, 09:53

Ki van itt?

Guests : 45 guests online Members : No members online

Honlapok

SULINET Matematika

Oktatási Hivatal

Versenyvizsga portál
banvv

Matematika Portálok

Berzsenyi Dániel Gimnázium

berzsenyi

Óbudai Árpád Gimnázium
arpad

 

Szent István Gimnázium

sztistvan

A gondolkodás öröme
gondolkodasorome

Vegyes feladatok: VF_000017 ( VF_000017 )
Témakör: *Számelmélet (polinom, oszthatóság)

Bizonyítsuk be, hogy bármilyen egész szám is n

$ n\left( {n+2} \right)\left( {5n-1} \right)\left( {5n+1} \right) $

mindig osztható 24-gyel.



 

a) Ha $ n $ 3-mal osztható, akkor nyilvánvaló,hogy szorzatunk is osztható 3-mal. Ha $ n $ 3-mal nem osztható, akkor 5 $ n $ sem osztható 3-mal, és így $ 5n-1 $ és $ 5n+1 $ közül az egyik feltétlenül osztható 3-mal.

b) Ha $ n $ páros, akkor $ n $ és $ n+2 $ , ha pedig $ n $ páratlan, akkor $ 5n-1 $ és $ 5n+1 $ két egymásután következő páros szám. Két egymásután következő páros szám közül az egyik mindig osztható 4-gyel és így szorzatuk mindig osztható $ 2\cdot 4=8 $ -cal.

Mind a), mind b) alatt az összes lehetséges eseteket kimerítettük és így bebizonyítottuk, hogy szorzatunk $ n $ minden egész számú értéke mellett osztható 3-mal is és 8-cal is, mivel pedig e két számnak nincs közös osztója, tehát a szorzatukkal: $ 3\cdot 8=24 $ -gyel is.

 

2. Megoldás

Teljes indukció is célra vezet.

$ n=1- $ re $ 1\cdot \left( {1+2} \right)\left( {5-1} \right)\left( {5+1} \right)=3\cdot 24 $ osztható 24-gyel.

Tegyük fel, hogy valamilyen $ n=k $ értékre már igazoltuk az állítás helyességét, azaz

$ k\left( {k+2} \right)\left( {5k-1} \right)\left( {5k+1} \right)=25k^4+50k^3-k^2-2k=24A, $

ahol $ A $ valamilyen egész szám. $ k $ helyébe $ \left( {k+1} \right) $ -et téve:

$ \left( {k+1} \right)\left( {k+3} \right)\left( {5k+4} \right)\left( {5k+6} \right)=25k^4+150k^3+299k^2+246k+72= $
$ =100k^3+300k^2+248k+72+25k^4+50k^3-k^2-2k= $
$ =24\left( {4k^3+12k^2+10k+3} \right)+4k^3+12k^28k+24A= $
$ =24B+4k\left( {k^2+3k+2} \right)+24A= $
$ =24\left( {A+B} \right)+4k\left( {k+1} \right)\left( {k+2} \right) $

Mivel $ k\left( {k+1} \right)\left( {k+2} \right) $ , mint 3 egymásra következő szám szorzata osztható $ 2\cdot 3=6 $ -tal, azért a nyert kéttagú összegünk második tagja is osztható $ 4\cdot 6=24 $ -gyel. Tehát ha tételünk $ n=k $ -ra igaz, akkor $ n=\left( {k+1} \right) $ -re is igaz, de $ n=1 $ -re igaz és így minden $ n $ egész számra fennáll.

 

3. Megoldás

$ n\left( {n+2} \right)\left( {5n-1} \right)\left( {5n+1} \right)= $
$ =n\left( {n+2} \right)\left( {25n^2-1} \right)= $
$ =n\left( {n+2} \right)\left[ {24n^2+\left( {n^2-1} \right)} \right]= $
$ =24n^3\left( {n+2} \right)+\left( {n-1} \right)n\left( {n-1} \right)\left( {n+2} \right) $

Az első tag nyilván osztható 24-gyel, a második tag pedig 4 egymásra következő szám szorzata. Ezek közt van mindig 3-mal osztható és van két egymásutáni páros tényező, melyek közül valamelyik így 4-gyel is osztható. Szorzatunk tehát osztható $ 3\cdot 2\cdot 4=24 $ -gyel.

 


QR kód

Budapesti Fazekas Mihály Gyakorló Általános Iskola és Gimnázium

QR

 

 

 

Bejelentkezés cikkíróknak


Joomla template: szsnjm3-001
(c) Szoldatics József (www.szolda.hu), Eszesen KFt. 2011/2016