Budapesti Fazekas Mihály Gyakorló Általános Iskola és Gimnázium

FaceBook oldalunk

joomla facebook

Látogatók

Mai1393
Heti13086
Havi41818
Összes1333484

IP: 18.232.53.231 Unknown - Unknown 2019. augusztus 25. vasárnap, 14:55

Ki van itt?

Guests : 83 guests online Members : No members online

Honlapok

SULINET Matematika

Oktatási Hivatal

Versenyvizsga portál
banvv

Matematika Portálok

Berzsenyi Dániel Gimnázium

berzsenyi

Óbudai Árpád Gimnázium
arpad

 

Szent István Gimnázium

sztistvan

A gondolkodás öröme
gondolkodasorome

Vegyes feladatok: VF_000020 ( VF_000020 )
Témakör: *Algebra (számelmélet, oszthatóság)

Melyik az a legkisebb 4-gyel végződő természetes szám, melynek utolsó jegyét a szám elé írva, az eredeti szám négyszeresét kapjuk?



 

Jelöljük a keresett szám ismeretlen számjegyeit $ x_1 ,\;x_{2,} \;\ldots ,\;x_n $ -nel. Ekkor a feladat olyan szám keresését kívánja, melyre

$ 4\cdot x_1 x_2 \ldots x_n 4=4x_1 x_2 \ldots x_n . $

Itt az egymásutáni betűk egy szám 10-es számrendszerbeli alakjának számjegyeit jelentik, a szorzás jelét mindig kiírjuk. A baloldal utolsó jegyét beszorozva 4-gyel $ \left( {4\cdot 4=16} \right) $ adódik, hogy $ x_n =6 $ ; ezt a baloldalon beírva folytathatjuk a szorzást és kapjuk, hogy $ 4\cdot 6=24 $ , $ 24+1=25 $ és így $ x_{n-1} =5 $ . Hasonlóan folytatva tovább sorra a 2, 0, 1 jegyeket kapjuk, utóbbit 4-gyel szorozva 4-et kapunk, és nem marad továbbviendő egység, így kapjuk, hogy

$ 4\cdot 102564=410256. $

Nem kell az eljárást a 4-es jegynél befejezni, ekkor olyan számokhoz jutunk, melyek az 102564 szám egy sorozat többszöri megismétlésével keletkeznek. Ezek mind rendelkeznek a kívánt tulajdonsággal és az eljárásból belátható, hogy csak ezek a számok felelnek meg. Lényegében ugyanígy adódik az eredmény akkor is, ha a jobboldali szám osztása révén határozzuk meg sorra a számjegyeket $ x_1 $ -től kezdve.

 

2. Megoldás

Legyen a 4-es előtti jegyekből álló szám $ x $ és legyen $ n $ jegyű. Ekkor az adott szám $ 10x+4 $ . A 4-es előre téve $ 4\cdot 10^n $ -t fog jelenteni s ezt a számot követi az $ x $ szám. Így a feladat olyan $ x $ és $ n $ természetes számok keresését kívánja, amelyekre

$ 4\left( {10x+4} \right)=4\cdot 10^n+x,\quad \quad 39x=4\left( {10^n-4} \right). $

A feladat tehát olyan $ n $ egész szám keresését kívánja melyre $ 4\left( {10^n-4} \right) $ osztható $ 39=3\cdot 13 $ -mal. Mivel

$ 10^n-4=\left( {10^n-1} \right)-3=99\ldots 9-3 $

osztható 3-mal, így csak a 13-mal való oszthatóságot kell biztosítani, és mivel 4 relatív prím a 13-hoz, így csak $ 10^n-4 $ lehet 13-mal osztható. $ 10-4 $ és $ 10^2-4 $ nem osztható vele, tehát $ n>2 $ . Ez esetben

$ 10^n-4=100\cdot 10^{n-2}-4=4\cdot \left( {25\cdot 10^{n-2}-1} \right)=4\left[ {26\cdot 10^{n-2}-\left( {10^{n-2}+1} \right)} \right]. $

Itt a 4 relatív prim a 13-hoz, 26 osztható vele, tehát a $ 10^{n-2}+1 $ -nek kell 13-mal oszthatónak lennie. Tudjuk, hogy 1001 osztható 13-mal, így $ n-2=3 $ , $ n=5 $ a legkisebb kitevő, amelyik megfelel a feltételnek.

$ x=\dfrac{4\cdot \left( 10^5-1 \right.)}{39}=10256, $

a keresett szám tehát 102564.


Megjegyzés: 1. A $ 10^m+1 $ kifejezés ( $ n-2 $ helyett $ m $ -et írtunk) mindig osztható 13-mal, ha $ m $ a 3-nak páratlan többszöröse, mert ha $ m=3\left( {2k+1} \right) $ , akkor

$ \begin{array}{c} 10^m+1=\left( {10^3} \right)^{2k+1}+1= \ \ \end{array} $

és $ 10^3+1=7\cdot 11\cdot 13 $ . Ha viszont $ m=3\left( {2k+1} \right)+r $ , $ r=1,\;2,\;3,\;4 $ vagy 5, akkor

$ 10^m+1=\left( {10^{3\left( {2k+1} \right)+r}+10^r} \right)-\left( {10^r-1} \right)=10^r\left( {10^{3\left( {2k+1} \right)}+1} \right)-\left( {10^r-1} \right). $
$ =\left( {10^3+1} \right)\left( {10^{3\cdot 2k}-10^{3\left( {2k-1} \right)}+10^{3\left( {2k-2} \right)}+\ldots +-10^3+1} \right) $

Itt az első tag osztható 13-mal, a második viszont nem, mert 9, $ 99=9\cdot 11 $ , $ 999=9\cdot 111=9\cdot 3\cdot 37 $ , $ 9999=9\cdot 1001+990 $ és $ 99999=99\cdot 1001+900 $ ; és itt egyik tényező sem osztható 13-mal, ill., az első tag osztható vele, a második azonban nem, tehát ( $ m=n-2 $ -t visszaírva) a felírt egyenlet összes megoldásai

$ x=\dfrac{4\left( {10^{6k+5}-4} \right)}{39},\quad \quad \quad k=0,\;1,\;2,\;\ldots . $

Könnyen látható, hogy ezek éppen az előző megoldásban említett alakú számok. 2. Kérdés, nem csak véletlen-e, hogy találtunk a feltételnek megfelelő számot. Erre csak azt jegyezzük meg, hogy az utolsó feladatnak sincs mindig megoldása. Fermat egy nevezetes számelméleti tételéből, illetőleg annak Eulertől származó általánosításából következik, hogy olyan $ m $ kitevő minden $ a $ egész számhoz van, amelyre $ 10^m-1 $ osztható $ a $ -val, ha $ a $ páratlan és nem osztható 5-tel; ezzel szemben pl. 3-mal nem lehet osztható, mert $ 10^m+1=\left( {10^m-1} \right)+2 $ , ami 3-mal osztva 2-t ad maradékul, mert az első tag osztható 3-mal, bármilyen természetes szám is $ m $ .

 


QR kód

Budapesti Fazekas Mihály Gyakorló Általános Iskola és Gimnázium

QR

 

 

 

Bejelentkezés cikkíróknak


Joomla template: szsnjm3-001
(c) Szoldatics József (www.szolda.hu), Eszesen KFt. 2011/2016