Budapesti Fazekas Mihály Gyakorló Általános Iskola és Gimnázium

FaceBook oldalunk

joomla facebook

Látogatók

Mai11
Heti4819
Havi47220
Összes954530

IP: 34.203.245.76 Unknown - Unknown 2019. január 24. csütörtök, 00:19

Ki van itt?

Guests : 48 guests online Members : No members online

Honlapok

SULINET Matematika

Oktatási Hivatal

Versenyvizsga portál
banvv

Matematika Portálok

Berzsenyi Dániel Gimnázium

berzsenyi

Óbudai Árpád Gimnázium
arpad

 

Szent István Gimnázium

sztistvan

A gondolkodás öröme
gondolkodasorome

Vegyes feladatok: VF_000021 ( VF_000021 )
Témakör: *Geometria (trapéz, kör, érintő)

Bizonyítandó, hogy trapézba akkor és csak akkor írható az oldalakat érintő kör, ha a szárak, mint átmérők fölé írt körök érintkeznek.



 

a) Tegyük fel, hogy a szárak fölé rajzolt körök érintkeznek. (1. ábra). Ekkor a körök centrálisának hossza a sugarak összege, vagyis a szárak összegének a fele. Másrészt viszont a centrális éppen a trapéz középvonala, tehát hossza a párhuzamos oldalak összhosszának a fele. A feltételnek megfelelő trapézban tehát a szemközti oldalpárok összhossza megegyezik és tudjuk, hogy ha ez egy konvex négyszögre teljesül, akkor abba az oldalakat érintő kör írható. Tehát a feltétel elégséges.

b) Ha a trapézba az oldalakat érintő kör írható, akkor tudjuk, hogy a szemközti oldalpárok összege megegyezik s így a középvonal, melynek hossza a párhuzamos oldalak számtani közepe, egyben a szárak felének összegével is egyenlő, s így a szárak mint átmérők fölé rajzolt körök közös pontban metszik a centrálisát. De ha két körnek a centrálisukon van közös pontja, akkor e pontban érintkeznek. Tehát a feltétel szükséges is. Ezzel igazoltuk a bizonyítandó állítást.

 

2. Megoldás

Tetszés szerinti ABCD trapéz $ \left( {BC\left\| {AD} \right.} \right) $ AB szára fölé rajzoljunk félkört. Messe ez a középvonalat $ E $ -ben. Ekkor $ E $ -n mennek át az $ A $ és $ B $ csúcsból húzott szögfelezők. Valóban, a félkör középpontját $ O $ -val jelölve $ AOE\Delta $ egyenlőszárú s így $ OAE\angle =OEA\angle $ , mivel pedig a középvonal párhuzamos a párhuzamos oldalakkal, így $ OEA\angle =EAD\angle $ , tehát AE felezi az $ A $ -nál lévő szöget. Hasonlóan látható, hogy BE is szögfelező.

A trapézba akkor és csakis akkor írható kör, ha a négy szögfelező egy ponton megy keresztül, tehát akkor és csakis akkor, ha a szárak fölé rajzolt köröknek közös pontja van a középvonalon, tehát ha e körök érintkeznek. Egyben azt is nyertük, hogy a körök érintkezési pontja a beírt kör középpontját adja.
Megjegyzés A versenyzők legnagyobb része csak a feladat egyik felét bizonyította be, mert nem volt tisztában azzal, hogy az ,,akkor és csakis akkor'' azt jelenti, hogy be kell bizonyítani egyrészt, hogy a feltétel elégséges (,,akkor'') és másrészt, hogy a feltétel egyszersmind szükséges is (,,csakis akkor''), vagyis azt, hogy a tétel megfordítható. Hogy ez nincs mindig így -- tehát bizonyításra szorul -- ezt a következő két igen egyszerű példa világítja meg. ,,Ha egy szám 5-re végződik, akkor osztható 5-tel. Itt az ,,akkor'' nem toldható meg ,,csakis akkor''-ral, mert az 5-re végződés elégséges feltétel ugyan, de nem szükséges, hiszen 0-ra végződő számok is oszthatók 5-tel. Viszont a következő állításban: ,,Egy szám csakis akkor osztható 6-tal, ha páros,,, nem írhatunk a ,,csakis akkor'' elé ,,akkor''-t, mert a szám páros volta ugyan szükséges feltétel, de nem elégséges, mert hiszen sok páros szám nem osztható 6-tal. Tehát a fenti két állítás egyike sem fordítható meg. (Ugyanis nem mondhatjuk: ,,Az 5-re végződő számok oszthatóak 5-tel és fordítva, ha egy-egy szám osztható 5-tel, akkor 5-re végződik.'' Hasonlóképpen hamis: ,,Minden 6-tal osztható szám páros és fordítva, minden páros szám osztható 6-tal.'')

 


QR kód

Budapesti Fazekas Mihály Gyakorló Általános Iskola és Gimnázium

QR

 

 

 

Bejelentkezés cikkíróknak


Joomla template: szsnjm3-001
(c) Szoldatics József (www.szolda.hu), Eszesen KFt. 2011/2016