Budapesti Fazekas Mihály Gyakorló Általános Iskola és Gimnázium

FaceBook oldalunk

joomla facebook

Látogatók

Mai187
Heti2121
Havi64235
Összes2165023

IP: 18.207.106.142 Unknown - Unknown 2020. szeptember 29. kedd, 03:52

Ki van itt?

Guests : 31 guests online Members : No members online

Honlapok

SULINET Matematika

Oktatási Hivatal

Versenyvizsga portál
banvv

Matematika Portálok

Berzsenyi Dániel Gimnázium

berzsenyi

Óbudai Árpád Gimnázium
arpad

 

Szent István Gimnázium

sztistvan

A gondolkodás öröme
gondolkodasorome

Vegyes feladatok: VF_000024 ( VF_000024 )
Témakör: *Algebra (polinom)

Bizonyítsuk be, hogy ha

$ \dfrac{1}{a}+\dfrac{1}{b}+\dfrac{1}{c}=\dfrac{1}{a+b+c}, $

és n pozitív páratlan szám, akkor

$ \dfrac{1}{a^n}+\dfrac{1}{b^n}+\dfrac{1}{c^n}=\dfrac{1}{a^n+b^n+c^n}. $


 

Vigyük át az első egyenlet baloldaláról az utolsó tagot a jobboldalra:

$ \dfrac{1}{a}+\dfrac{1}{b}+=\dfrac{1}{a+b+c}-\dfrac{1}{c}, $
$ \dfrac{a+b}{ab}=\dfrac{-\left( {a+b} \right)}{c\left( {a+b+c} \right)}. $

Redukáljuk az egyenletet 0-ra és emeljük ki $\left( {a+b} \right)$-t:

$ \left( {a+b} \right)\left( {\dfrac{1}{ab}+\dfrac{1}{c\left( {a+b+c} \right)}} \right)=\dfrac{\left( {a+b} \right)\left[ {ab+\left( {a+b} \right)c+c^2} \right]}{abc\left( {a+b+c} \right)}= $
$ =\dfrac{\left( {a+b} \right)\left( {a+c} \right)\left( {b+c} \right)}{abc\left( {a+b+c} \right)}=0. $

Ez csak úgy lehet 0, ha a számláló 0. Teljesen hasonlóan a második egyenlet

$ \dfrac{\left( {a^n+n^n} \right)\left( {b^n+c^n} \right)\left( {c^n+a^n} \right)}{a^nb^nc^n\left( {a^n+b^n+c^n} \right)}=0 $

alakba írható. Mivel páratlan pozitív egész $n$-re

$ u^n+v^n=\left( {u+v} \right)\left( {u^{n-1}-u^{n-2}v+\ldots -uv^{n-2}+v^{n-1}} \right), $

azért a számláló osztható az

$ \left( {a+b} \right)\left( {b+c} \right)\left( {c+a} \right) $

szorzattal, így a második egyenlőség is teesül, ha az első teljesül.

 

2. Megoldás

Az első egyenlet átalakítva

$ \dfrac{ab+bc+ca}{abc}=\dfrac{1}{a+b+c}, $

vagyis

$ \left( {a+b+c} \right)\left( {ab+bc+ca} \right)=abc. $

Írjunk fel egy olyan egyenletet, melynek gyökei $a, b$ és $c$:

$ 0=\left( {x-a} \right)\left( {x-b} \right)\left( {x-c} \right)=x^3-\left( {a+b+c} \right)x^2+\left( {ab+bc+ca} \right)x-abc= $
$ =x^3-\left( {a+b+c} \right)x^2+\left( {ab+bc+ca} \right)x-\left( {a+b+c} \right)\left( {ab+bc+ca} \right)= $
$ =x^3\left[ {x-a\left( {a+b+c} \right)} \right]+\left( {ab+bc+ca} \right)\left[ {x-\left( {a+b+c} \right)} \right]= $
$ =\left[ {x-\left( {a+b+c} \right)} \right]\left[ {x^2+\left( {ab+bc+ca} \right)} \right]. $

Az első alakról látható, hogy ez csak akkor teljesülhet, ha $x$ megegyezik $a, b, c$ valamelyikével, az utolsóból viszont következik, hogy a kifejezés eltűnik, ha $x=a+b+c$, tehát utóbbinak meg kell egyeznie az előbbiek valamelyikével pl.

$ a+b+c=a,\quad \quad c=-b, $

s így páratlan egész $n$-re

$ \dfrac{1}{a^n}+\dfrac{1}{b^n}+\dfrac{1}{c^n}=\dfrac{1}{a^n}+\dfrac{1}{b^n}-\dfrac{1}{b^n}=\dfrac{1}{a^n}=\dfrac{1}{a^n+b^n+\left( {-b} \right)^n}=\dfrac{1}{a^n+b^n+c^n} $


is teljesül.


QR kód

Budapesti Fazekas Mihály Gyakorló Általános Iskola és Gimnázium

QR

 

 

 

Bejelentkezés cikkíróknak