Budapesti Fazekas Mihály Gyakorló Általános Iskola és Gimnázium

FaceBook oldalunk

joomla facebook

Látogatók

Mai1291
Heti1291
Havi54622
Összes1639736

IP: 35.175.201.14 Unknown - Unknown 2020. január 27. hétfő, 16:38

Ki van itt?

Guests : 53 guests online Members : No members online

Honlapok

SULINET Matematika

Oktatási Hivatal

Versenyvizsga portál
banvv

Matematika Portálok

Berzsenyi Dániel Gimnázium

berzsenyi

Óbudai Árpád Gimnázium
arpad

 

Szent István Gimnázium

sztistvan

A gondolkodás öröme
gondolkodasorome

Vegyes feladatok: VF_000027 ( VF_000027 )
Témakör: *Számelmélet (szám, soztó)

Két szám összege 173717. A két szám 4-jegyű különbségének törzstényezői között nincsen egyjegyű szám. Az egyik szám osztható 1558-cal. Melyik ez a két szám?



 

Az egyik szám nyilván annyival kisebb az összeg felénél, amennyivel a másik az összeg felénél nagyobb. Mivel a két szám különbsége kisseb, mint 10000, ezért a keresett számok, ha $\dfrac{193177}{2}=86858,5$ helyébe $m$-et írunk, $m-5000$ és $m+5000$, vagyis 81859 és 91859 között vannak. Keressük az első 1558-cal osztható számot a természetes számok sorában 81858 után. Mivel

$ 52<\dfrac{81858}{1558}
azért \cdot 4284,5=8569$. A következő két megfelelő számpár különbsége $ 5" />453-3116=2337$. 2337-nek és 5453-nak van egyjegyű osztója (3 illetőleg 7), azonban 8569 $\left( {=11\cdot 19\cdot 41} \right)$-nek nincs egyjegyű osztója, és így az egyetlen megoldás 82574 és $ 8" />2574+8569=981143$.

 

2. Megoldás

Az összeg és az egyik szám minden közös osztója osztja a másik számot is, és így osztója a két szám különbségének. Tehát $\left( {173717,\;1558} \right)=779=19\cdot 41^{\ast }$"> Ilyenkor a zárójel jelenti a zárójelbe foglalt, vesszővel elválasztott számok legnagyobb közös osztóját.} a két szám különbségének is osztója. Tehát a különbség $ 1" />9\cdot 41\cdot k$ alakú, ahol $k$ nem tartalmazhat egyjegyű törzstényezőt. Mivel a feladat szerint $ 1" />000\le 19\cdot 41\cdot k\le 9999$, azért

$ \dfrac{1000}{779}\le k\le \dfrac{9999}{772}=12,..., $

vagyis

$ 2\le k\le 12. $

Tehát feltételünknek csak a $k=11$ érték felel meg, és így a különbség$ 7" />79\cdot 11=8569.$ Ha a keresett két számot $x$ és $y$-nal jelöljük, akkor

$ \begin{array}{c} x+y=173717, \\ x-y=8569, \\ \end{array} $

amiből

$ x=91143\left( {=3\cdot 13\cdot 19\cdot 41} \right) $
$ y=82574\left( {=2\cdot 19\cdot 41\cdot 53} \right) $
 

QR kód

Budapesti Fazekas Mihály Gyakorló Általános Iskola és Gimnázium

QR

 

 

 

Bejelentkezés cikkíróknak