Budapesti Fazekas Mihály Gyakorló Általános Iskola és Gimnázium

FaceBook oldalunk

joomla facebook

Látogatók

Mai12
Heti4821
Havi47222
Összes954531

IP: 34.203.245.76 Unknown - Unknown 2019. január 24. csütörtök, 00:21

Ki van itt?

Guests : 62 guests online Members : No members online

Honlapok

SULINET Matematika

Oktatási Hivatal

Versenyvizsga portál
banvv

Matematika Portálok

Berzsenyi Dániel Gimnázium

berzsenyi

Óbudai Árpád Gimnázium
arpad

 

Szent István Gimnázium

sztistvan

A gondolkodás öröme
gondolkodasorome

Vegyes feladatok: VF_000029 ( VF_000029 )
Témakör: *Geometria (szerkesztés, kör)

Adva van egy kör, továbbá 3 egyenes $ a $ , $ b $ , $ i $ , melyek közül $ a $ és $ b $ metszi a kört. Szerkesszünk $ i $ -vel párhuzamos oly egyeneseket, amelyek a másik két egyenes és a kört úgy metszik, hogy az egyik körmetszésponttól az egyik egyenesig terjedő szakasz egyenlő a másik körmetszésponttól a másik egyenesig terjedő szakasszal.



 

A kör minden pontjából húzzunk az $ I $ egyenessel párhuzamos egyenest, messe ez $ b $ -t a $ B $ pontban, a kört pedig másodszor az $ L $ pontban. $ L $ -ből mérjük rá a KL egyenesre mindkét irányban a KB távolságot. A keletkező mértani helynek az $ a $ egyenessel való metszéspontjaiban $ i $ -vel párhuzamosan húzott egyenesek adják a feladat megoldásait. Jelöljük az $ i $ -vel párhuzamos körérintőket $ i_0 $ - és $ i_{00} $ -val, a $ b $ -nek a $ I $ irányra merőleges $ t $ körátmérőre vonatkozó tükörképét $ b' $ -vel.

Ha KB-vel ellentétes irányú LB' távolságokat mérünk fel (lásd az ábrán az $ i_2 $ és $ i_3 $ egyeneseken a $ B'_2 $ , ill. $ B'_3 $ pontokat), akkor, ha a $ K $ végigfut a körön a $ B' $ pontok kétszer futják be a $ b' $ -n ennek $ i_0 $ és $ i_{00} $ közti szakaszát. (Az ábrán a két végpontot nyíllal jelöltük.) Ennek a szakasznak az $ a $ egyenessel való $ A_1 $ metszéspontján át -- ha van ilyen -- az $ i $ -vel párhuzamosan húzott $ i_1 $ egyenes szolgáltatja a feladat egyik megoldását. (Nevezhetjük ,,tükrös megoldás,,-nak, mert $ K_1 A_1 =L_1 B $ egymásnak tükörképei $ t $ -re nézve.) A mértani hely másik részét megkapjuk, ha az $ i $ -vel párhuzamos egyenesekre a KB szakaszokkal egyirányú LB* távolságokat mérünk. Ha $ K $ befutja a teljes kört (tehát a $ K $ és $ L $ pontok felcserélendőek) a $ B* $ pontok zárt görbét futnak be, mely görbéből minden $ i_0 $ és $ i_{00} $ közti párhuzamoson 2-2 pont fekszik. Ennek a görbének az $ a $ egyenessel lehetséges metszéspontjait $ \left( {A_2 \;A_3 } \right) $ kellene megszerkeszteni. Erre azonban a talált mértani hely már nem alkalmas. Hasznát vehetjük azonban itt is a $ b' $ egyenesnek. Tegyük fel, hogy az $ A_2 $ -n átmenő $ i_2 $ megoldás már meg van szerkesztve; ennek metszéspontja a körrel $ K_2 $ és $ L_2 $ a $ b $ és $ b' $ egyenesekkel és $ B_2 $ és $ B'_2 $ , végül $ K_2 A_2 =L_2 B_2 $ és e távolságok egyirányúak. Mivel $ b' $ szerkesztése szerkesztése szerint $ L_2 B_2 =K_2 B'_2 $ , azért $ K_2 A_2 =K_2 B'_2 $ és e távolságok már ellentétes irányúak, azaz $ K_2 $ az $ A_2 B_2 $ szakasz felezőpontja. Így a $ K_2 $ és hasonlóképpen a $ K_3 $ is, rajta van azon a vonalon, melyet az $ i_0 $ és $ i_{00} $ közti $ i $ -vel párhuzamos egyenesek $ a $ és $ b' $ közé eső szakaszainak felezőpontjai alkotnak. Tudjuk azonban, hogy ilyen szakaszt bárhol megrajzolva, a keletkező háromszögnek $ s $ súlyvonalán vannak az összes felezőpontok, tehát a súlyvonalak az $ i_0 $ és $ i_{00} $ közé eső szakaszán lesz az újabb mértani hely, melynek közös pontjai a körrel adják a $ K_2 $ -t és $ K_3 $ -at. (Ha $ a $ és $ b $ metszéspontja $ M $ a rajz keretén belül van, akkor az MM' szakasz felezőpontja $ M_0 $ nyilván a $ t $ tengelyen van és az $ A_1 M_0 $ egyenes az $ A_1 MM'\Delta $ keresett $ s $ súlyvonala.) A $ K_2 $ és $ K_3 $ pontokon át $ i $ -vel húzott párhuzamosak $ i_2 $ és $ i_3 $ megoldások, amelyeken $ K_2 A_2 =L_2 B_2 $ ill. $ K_3 A_3 =L_3 B_3 $ egyirányúak. Ilyen fajta (nem tükrös) megoldások száma 2, 1 (2 egybeeső), ill. 0 aszerint, amint $ s $ két különböző pontban metszi a kört, érinti a kört, vagy nem metszi a kört. Az összes megoldások száma tehát 3, 2, 1 vagy 0. Megjegyzés. A $ b* $ görbe úgy keletkezett az adott körből, hogy azt a $ b' $ egyenestől mindkét oldalon egy adott $ I $ irányban kétszeresre nyújtottuk. Ha speciálisan az egyenes átmérő és az irány erre merőleges (a nyújtás vagy zsugorítás pedig tetszés szerinti arányú), akkor a III. osztály tananyagában szerepel annak bizonyítása, hogy a körből így keletkező görbe ellipszis. A IV. reálosztályosok az ábrázoló-geometriai órákról azt is tudják, hogy tetszőleges egyenes, tetszőleges irányú és tetszőleges arányú nyújtás (vagy zsugorítás) esetén is, a kör ellipszisbe megy át, és a kör- és ellipszis-rendszer közötti geometriai rokonságot ,,affinitás''-nak hívjuk. A IV. reálosztályosok még azt is tudják, hogy pl. a tengelyeivel megadott ellipszisnek egy egyenessel való metszéspontjait úgy szerkeszthetjük meg, hogy az ellipszist affin vonatkozásba hozzuk egy körrel, az ellipszis-rendszerben megadott egyenesnek megszerkesztjük az affin megfelelőjét a körrendszerben, ez utóbbinak a körrel való metszéspontjait visszavisszük az ellipszis-rendszerbe. Jelen esetben tulajdonképpen az ellipszis-rendszerben megadott $ a\equiv s\ast $ egyenesnek megszerkesztettük a körrendszerbe a megfelelőjét $ s $ -et, 1:2 arányú zsugorítással. Figyeljük végül meg, hogy az $ i_1 $ megoldáson egyszerre fennáll $ K_1 A_1 =L_1 B_1 $ és $ K_1 B_1 =L_1 A_1 $ . Ez is és az a tény is, hogy míg $ K $ befutja a kört, $ B' $ kétszer halad végig a $ b' $ szóba jövő szakaszán (a mértani helynek ez a része egyenes szakasszá fajuló ellipszisnek tekinthető), vagyis az $ A_1 $ pont, mint e mértani helynek és az $ a $ egyenesnek metszéspontja, kétszeresen számít, azt mutatja, hogy tulajdonképpen az $ i_1 $ megoldás is kétszeresen számít.

 


QR kód

Budapesti Fazekas Mihály Gyakorló Általános Iskola és Gimnázium

QR

 

 

 

Bejelentkezés cikkíróknak


Joomla template: szsnjm3-001
(c) Szoldatics József (www.szolda.hu), Eszesen KFt. 2011/2016