Budapesti Fazekas Mihály Gyakorló Általános Iskola és Gimnázium

FaceBook oldalunk

joomla facebook

Látogatók

Mai1006
Heti6965
Havi2661
Összes1976213

IP: 3.236.11.52 Unknown - Unknown 2020. július 02. csütörtök, 12:18

Ki van itt?

Guests : 101 guests online Members : No members online

Honlapok

SULINET Matematika

Oktatási Hivatal

Versenyvizsga portál
banvv

Matematika Portálok

Berzsenyi Dániel Gimnázium

berzsenyi

Óbudai Árpád Gimnázium
arpad

 

Szent István Gimnázium

sztistvan

A gondolkodás öröme
gondolkodasorome

Vegyes feladatok: VF_000003 ( VF_000003 )
Témakör: *Kombinatorika (geometria, lefedés)

Egy körlapot fele akkora átmérőjű körlapokkal akarunk befedni. Hogyan tehetjük ezt meg legkevesebb számú körlappal?



 

(Az általánosság megszorítása nélkül feltehetjük, hogy) a befödendő kör sugara legyen 1.

Hét kis körrel le lehet fedni a nagyot.

Beleírunk egy szabályos hatszöget, oldalainak középpontjai köré írunk egy-egy $\dfrac { 1 } { 2 }$ sugarú kört, továbbá az eredeti kör középpontja köré is írunk egyet és azt állítjuk, hogy a kört lefedtük. (Tudjuk, hogy egybevágó szabályos hatszögekkel be lehet fedni úgy a síkot, hogy a hatszögek közt hézag sem marad, de egymást nem is fedik.) 7 darab (így illeszkedő) $\dfrac { 1 } { 2 }$ oldalú szabályos hatszöget látunk. (Jelöljük a belső hatszög középpontját $O$ -val; $A$ és $B$ legyen egy külső hatszögnek az a két szemközti csúcsa, melyek közül egyik sem csúcsa a belső hatszögnek, $C$ és $D$ pedig a belső hatszöggel közös csúcsok.) $OA=1=OB$, (mert OA és OB is szimmetriatengelye az ábrának s így kell, hogy $C$, ill. $D$ is ezekre az egyenesekre essék. Már pedig $OC=OD=CA=DB=\dfrac { 1 } { 2 })$ A berajzolt nagy kör sugara tehát 1, és az, mint látható a hatszögek által, befödetik. A hatszögek köré írt $\dfrac { 1 } { 2 }$ sugarú körök ezért még inkább lefedik a nagy kört.

 

Most azt bizonyítjuk, hogy hét körnél kevesebb nem elég.

Az egy darab $\dfrac { 1 } { 2 }$ sugarú kör által befedett körív végpontjainak távolsága $\le 1$, mert félsugarú körön belül bármely két pont távolsága $\le 1$. Ezért az egy kör által befedett ívhez tartozó középponti szög $\le 60^\circ $, vagyis az általunk megadotton kívül minden más lefedésnél (már) a körvonal lefedéséhez 7 kör kell, vagy több. (Hét kis kör is csak az adott elrendezésben fedi be egészen a nagy kört.) Ha egy kör az $O$

 

Megjegyzés. A probléma a következő módon általánosítható. Vegyünk kör helyett bármilyen konvex idomot. -- Konvexnek nevezünk egy idomot, ,,ha sehol sincs behorpadva'', vagyis ha bármely két a belsejében fekvő pontot összekötve az összekötő egyenes is a belsejében lesz.

-- Kicsinyítsük le az idomot $ 2" />:1$ arányban és ilyenekkel próbáljuk meg lefedni a nagyot, de úgy, hogy a kis idomokat közben le ne forgassuk, csak önmagukkal és a naggyal párhuzamos helyzetben tologassuk. Egy háromszög befedésére pl. 4 fele akkora háromszög elég, ha az oldalak középpontjait összekötjük, de ekkor a középső kis háromszög $ 1" />80^{\circ}$-kal el van fordítva. Párhuzamos háromszögekből már hatra van szükség.

-- Hajós György vetette fel a kérdést, hogy általában hány párhuzamos, fele akkora idom szükséges a befedéshez. Ő is, Karteszi Ferenc is, megtalálták a választ; bebizonyították, hogy hét kis idom, bármilyen konvex idomnál elegendő. Kevesebb nem lehet általában elegendő, de háromszögnél 6 kis idom is elegendő, paralelogrammánál már 4, trapéznál meg az alakjától függően 5 vagy 6. (A beszámolót összeállította Surányi János.)

 


QR kód

Budapesti Fazekas Mihály Gyakorló Általános Iskola és Gimnázium

QR

 

 

 

Bejelentkezés cikkíróknak