Budapesti Fazekas Mihály Gyakorló Általános Iskola és Gimnázium

FaceBook oldalunk

joomla facebook

Látogatók

Mai1399
Heti13092
Havi41824
Összes1333490

IP: 18.232.53.231 Unknown - Unknown 2019. augusztus 25. vasárnap, 14:59

Ki van itt?

Guests : 146 guests online Members : No members online

Honlapok

SULINET Matematika

Oktatási Hivatal

Versenyvizsga portál
banvv

Matematika Portálok

Berzsenyi Dániel Gimnázium

berzsenyi

Óbudai Árpád Gimnázium
arpad

 

Szent István Gimnázium

sztistvan

A gondolkodás öröme
gondolkodasorome

Vegyes feladatok: VF_000003 ( VF_000003 )
Témakör: *Kombinatorika (geometria, lefedés)

Egy körlapot fele akkora átmérőjű körlapokkal akarunk befedni. Hogyan tehetjük ezt meg legkevesebb számú körlappal?



 

(Az általánosság megszorítása nélkül feltehetjük, hogy) a befödendő kör sugara legyen 1.

Hét kis körrel le lehet fedni a nagyot.

Beleírunk egy szabályos hatszöget, oldalainak középpontjai köré írunk egy-egy $ \dfrac { 1 } { 2 } $ sugarú kört, továbbá az eredeti kör középpontja köré is írunk egyet és azt állítjuk, hogy a kört lefedtük. (Tudjuk, hogy egybevágó szabályos hatszögekkel be lehet fedni úgy a síkot, hogy a hatszögek közt hézag sem marad, de egymást nem is fedik.) 7 darab (így illeszkedő) $ \dfrac { 1 } { 2 } $ oldalú szabályos hatszöget látunk. (Jelöljük a belső hatszög középpontját $ O $ -val; $ A $ és $ B $ legyen egy külső hatszögnek az a két szemközti csúcsa, melyek közül egyik sem csúcsa a belső hatszögnek, $ C $ és $ D $ pedig a belső hatszöggel közös csúcsok.) $ OA=1=OB $ , (mert OA és OB is szimmetriatengelye az ábrának s így kell, hogy $ C $ , ill. $ D $ is ezekre az egyenesekre essék. Már pedig $ OC=OD=CA=DB=\dfrac { 1 } { 2 }) $ A berajzolt nagy kör sugara tehát 1, és az, mint látható a hatszögek által, befödetik. A hatszögek köré írt $ \dfrac { 1 } { 2 } $ sugarú körök ezért még inkább lefedik a nagy kört.

 

Most azt bizonyítjuk, hogy hét körnél kevesebb nem elég.

Az egy darab $ \dfrac { 1 } { 2 } $ sugarú kör által befedett körív végpontjainak távolsága $ \le 1 $ , mert félsugarú körön belül bármely két pont távolsága $ \le 1 $ . Ezért az egy kör által befedett ívhez tartozó középponti szög $ \le 60^\circ $ , vagyis az általunk megadotton kívül minden más lefedésnél (már) a körvonal lefedéséhez 7 kör kell, vagy több. (Hét kis kör is csak az adott elrendezésben fedi be egészen a nagy kört.) Ha egy kör az $ O $

 

Megjegyzés. A probléma a következő módon általánosítható. Vegyünk kör helyett bármilyen konvex idomot. -- Konvexnek nevezünk egy idomot, ,,ha sehol sincs behorpadva'', vagyis ha bármely két a belsejében fekvő pontot összekötve az összekötő egyenes is a belsejében lesz.

-- Kicsinyítsük le az idomot $ 2:1 $ arányban és ilyenekkel próbáljuk meg lefedni a nagyot, de úgy, hogy a kis idomokat közben le ne forgassuk, csak önmagukkal és a naggyal párhuzamos helyzetben tologassuk. Egy háromszög befedésére pl. 4 fele akkora háromszög elég, ha az oldalak középpontjait összekötjük, de ekkor a középső kis háromszög $ 180^{\circ} $ -kal el van fordítva. Párhuzamos háromszögekből már hatra van szükség.

-- Hajós György vetette fel a kérdést, hogy általában hány párhuzamos, fele akkora idom szükséges a befedéshez. Ő is, Karteszi Ferenc is, megtalálták a választ; bebizonyították, hogy hét kis idom, bármilyen konvex idomnál elegendő. Kevesebb nem lehet általában elegendő, de háromszögnél 6 kis idom is elegendő, paralelogrammánál már 4, trapéznál meg az alakjától függően 5 vagy 6. (A beszámolót összeállította Surányi János.)

 


QR kód

Budapesti Fazekas Mihály Gyakorló Általános Iskola és Gimnázium

QR

 

 

 

Bejelentkezés cikkíróknak


Joomla template: szsnjm3-001
(c) Szoldatics József (www.szolda.hu), Eszesen KFt. 2011/2016