Budapesti Fazekas Mihály Gyakorló Általános Iskola és Gimnázium

FaceBook oldalunk

joomla facebook

Látogatók

Mai494
Heti2051
Havi34670
Összes1050093

IP: 18.208.211.150 Unknown - Unknown 2019. március 19. kedd, 09:59

Ki van itt?

Guests : 106 guests online Members : No members online

Honlapok

SULINET Matematika

Oktatási Hivatal

Versenyvizsga portál
banvv

Matematika Portálok

Berzsenyi Dániel Gimnázium

berzsenyi

Óbudai Árpád Gimnázium
arpad

 

Szent István Gimnázium

sztistvan

A gondolkodás öröme
gondolkodasorome

Vegyes feladatok: VF_000004 ( VF_000004 )
Témakör: *Algebra (egyenlőtlenség, tört)

Az $ x $ változó, mely értékeire teljesül az

$ \dfrac{x-1}{x-2}<\dfrac{x+3}{x} $

egyenlőtlenség?



 

Egyszerűbb alakra hozzuk az egyenlőtlenséget. Elegendő az 1-gyel kisebbített

$ \dfrac{1}{x-2}<\dfrac{3}{x} $

egyenlőtlenséget igazolnunk, mert ehhez 1-et adva visszanyerjük az eredetit. Ábrázoljuk a két oldalon lévő függvényt grafikusan. A baloldalinak 2-nél, a jobboldalinak 0-nál szakadása van. E helyeken kívül csak ott válhatik az egyik a másiknál kisebből nagyobbá, ahol közben egyenlők lesznek. Mivel ez csak $ x=3 $ -nál következik be, az ábra mutatja, hogy közt és 3-nál nagyobb $ x $ -ekre teljesül.

 

2. Megoldás

A (2) egyenlőtlenségről azonnal látjuk, hogy teljesül, ha $ 0<x<2 $ , mert ekkor a baloldal negatív, a jobb viszont pozitív. Ha $ x $ negatív, vagy 2-nél nagyobb, akkor a két oldal egyező előjelű s így reciprokaik között az ellentétes egyenlőtlenségnek kell fennállnia:

$ x-2>\dfrac{x}{3},\quad \quad 3x-6>x,\quad \quad x>3. $

A feltételnek tehát a 0 és 2 közti és a 3-nál nagyobb számok tesznek eleget, s így az (1) egyenlőtlenségnek is.

 

3. Megoldás

Áttekinthetőbbé válik a feladat, ha úgy alakítjuk, hogy egy függvényről azt kelljen eldönteni, mely $ x $ értékekre pozitív az értéke. A baloldalt levonva az egyenlőtlenségből

$ 0<\dfrac{x+3}{x}-\dfrac{x-1}{x-2}=\dfrac{2\left( {x-3} \right)}{x\left( {x-2} \right)}, $

Ez akkor teljesül, ha a számláló és nevező egyező előjelű, tehát a) ha $ x-3>0 $ és $ x-2>0 $ . Utóbbi mindig teljesül, ha az előbbi teljesül, tehát minden 3-nál nagyobb szám megfelel a feltételnek. b) ha $ s-3<0 $ és $ x\left( {x-2} \right)<0 $ , azaz a második egyenlőtlenségben szereplő két tényező ellenkező előjelű. Kell tehát, hogy $ x $ nulla és kettő között legyen, s az ilyen $ x $ -ek az első egyenlőtlenséget is kielégítik. A feltételnek tehát a $ 0>x>2 $ és $ x>3 $ feltételeket kielégítő számok felelnek meg.

 


QR kód

Budapesti Fazekas Mihály Gyakorló Általános Iskola és Gimnázium

QR

 

 

 

Bejelentkezés cikkíróknak


Joomla template: szsnjm3-001
(c) Szoldatics József (www.szolda.hu), Eszesen KFt. 2011/2016