Budapesti Fazekas Mihály Gyakorló Általános Iskola és Gimnázium

FaceBook oldalunk

joomla facebook

Látogatók

Mai1035
Heti9976
Havi27554
Összes1217499

IP: 3.88.220.93 Unknown - Unknown 2019. június 16. vasárnap, 19:58

Ki van itt?

Guests : 154 guests online Members : No members online

Honlapok

SULINET Matematika

Oktatási Hivatal

Versenyvizsga portál
banvv

Matematika Portálok

Berzsenyi Dániel Gimnázium

berzsenyi

Óbudai Árpád Gimnázium
arpad

 

Szent István Gimnázium

sztistvan

A gondolkodás öröme
gondolkodasorome

Vegyes feladatok: VF_000005 ( VF_000005 )
Témakör: *Algebra (egyenlet, triginimetria)

Oldjuk meg az

$ \dfrac{1-\sin x}{\cos x}=\dfrac{1}{2} $

egyenletet.



 

Bevezetjük mindkét szögfüggvény helyett a tangenst:

$ \dfrac{1-\sin x}{\cos x}=\dfrac{1}{\cos x}-\mbox{tg}\,x=\sqrt {1+\mbox{tg}^2x} -\mbox{tg}\,x. $

Egyenletünk ezek alapján így írható:

$ \sqrt {1+\mbox{tg}^2x} =\dfrac{1}{2}+\mbox{tg}\,x, $

négyzetre emelve

$ 1+\mbox{tg}^2x=\dfrac{1}{4}+\mbox{tg}\,x+\mbox{tg}^2x $
$ \mbox{tg}\,x=\dfrac{3}{4}. $

Ennek két szög felel meg, azonban a $ 180^{\circ} $ -nál nagyobb megoldásának a sinusa negatív, s így az eredeti egyenlet baloldalán 1-nél nagyobb szám állna, tehát ez nem megoldása az eredeti egyenletnek. A hegyesszög megoldásra $ \sin x=\dfrac{3}{5} $ , $ \cos x=\dfrac{4}{5} $ és teljesül az eredeti egyenlet. A megoldás ebből $ x=36^{\circ}58' $ .

 

2. Megoldás

Fejezzük ki a baloldalt $ \sin x $ segítségével:

$ \dfrac{1-\sin x}{\cos x}=\dfrac{1-\sin x}{\sqrt {1-\sin ^2x} }=\sqrt {\dfrac{\left( {1-\sin x} \right)^2}{1-\sin ^2x}} =\sqrt {\dfrac{1-\sin x}{1+\sin x}} . $

Ezt felhasználva egyenletünk: $ \sqrt {\dfrac{1-\sin x}{1+\sin x}} =\dfrac{1}{2}\quad \quad $ vagy $ \quad \quad \dfrac{1-\sin x}{1+\sin x}=\dfrac{1}{4}. $ Innen $ \sin x=\dfrac{3}{5} $ és az eredeti egyenletből $ \cos x=2\left( {1-\sin x} \right)=\dfrac{4}{5} $ . $ x $ tehát hegyesszög. $ x=36^{\circ}58' $ .

 

3. Megoldás

A számlálóban egynél kisebb szám kell hogy álljon, mert a nevező mindig egynél kisebb; tehát $ \sin x $ pozitív, a nevezőben pedig pozitív szám áll, mert a számlálóban az áll. Így $ \cos x $ is pozitív. E szerint $ x $ hegyes szög. Ábrázoljuk a szereplő mennyiségeket egy egységnyi sugarú negyedkörben. Ábránkon $ AB=\sin x $ . Meghúzva az OA-val párhuzamos DC érintőt $ BC=1-\sin x $ és $ CD=OA=\cos x $ , tehát

$ \mbox{tg}\,BDC\angle =\dfrac{BC}{CD}=\dfrac{1-\sin x}{\cos x}=\dfrac{1}{2} $

kell legyen.

Ennek alapján megoldhatjuk grafikusan az egyenletet: Egy OAD derékszög szárai közé $ O $ középpontú DE negyedkört húzunk. A $ D $ -ben húzott érintő egy tetszőleges $ P $ pontjában merőlegesen lefelé meghúzzuk a $ PQ=\dfrac { 1 } { 2 }DP $ távolságot. A DQ egyenes metszi ki a körből azt a $ B $ pontot, melyre $ EOB\angle =x $ . Ezt tehát közvetlenül lemérhetjük. Befejezhetjük a megoldást számítással is. $ BDC\angle $ mint húr és érintő közti szög, kerületi szög. A hozzá tartozó középponti szög $ BOD\angle =90^{\circ}-x $ , így $ BDC\angle =45^{\circ}-\dfrac{x}{2} $ , tehát a keresett szögre

$ \mbox{tg}\,\left( {45^{\circ}-{\begin{array}{*{20}c} x \hfill \ 2 \hfill \ \end{array} }} \right)=\dfrac{1}{2} $


Innen $ x=36^{\circ}58' $ .


Megjegyzés: Az

$ \dfrac{1-\sin x}{\cos x}=\mbox{tg}\left( {45^{\circ}-\dfrac{x}{2}} \right) $

összefüggés természetesen tisztán számítással is igazolható.

 


QR kód

Budapesti Fazekas Mihály Gyakorló Általános Iskola és Gimnázium

QR

 

 

 

Bejelentkezés cikkíróknak


Joomla template: szsnjm3-001
(c) Szoldatics József (www.szolda.hu), Eszesen KFt. 2011/2016