Árki Tamás és Hraskó András
Kísérletező geometria
Készült a Közoktatási Modernizációs Közalapítvány (KOMA) támogatásával
Az, hogy a PE egyenesre P-ben emelt merőleges átmegy az E-vel átellenes F ponton Thalész-tételének egyszerű következménye. A továbbiakban megmutatjuk, hogy a PF valóban érinti a cikloist a P pontban. A P pontra egyszerre két, egyenlő nagyságú sebességvektor fejti ki a hatását. Az egyik vektor , amely párhuzamos az e félegyenessel, a másik vektor pedig
, amely merőleges a kör OP sugarára, és
(ciklois004b_01meg_a. ábra). Ez utóbbi egyenlőség éppen azt fejezi ki, hogy a kör csúszásmentesen gördül az e egyenesen. A P pontbeli érintő párhuzamos a két vektor eredőjével. Tegyük fel, hogy
, mely a ciklois004b_01meg_a. ábrán tompaszög, de természetesen a számolások a többi esetben is hasonlóan elvégezhetők. Ekkor
, és így
. Mivel a PXZY négyszög rombusz, ezért a PZ átló megfelezi a rombusz P csúcsánál lévő szöget, így
, amiből következik, hogy
. Jelöljük F-fel a PZ egyenes, valamint a gördülő kör aktuális helyzetének metszéspontját. Mivel a POF háromszög egyenlőszárú, ezért nyilvánvaló, hogy
,
amiből adódik, hogy
, amit úgy is értelmezhetünk, hogy az F pont épp a kör E-vel átellenes pontja. Ezzel
bebizonyítottuk, hogy a ciklois egy pontjának érintője valóban átmegy a generáló körnek E-vel átellenes pontján.
![]() |
ciklois004b_01meg_a. ábra
|
Letölthető fájl: ciklois001_01meg_c.fig
A ciklois egy tetszőleges pontjában a pontbeli érintőre emelt merőlegest a ciklois normálisának nevezzük (a ciklois004b_01meg_01mjz_a. ábrán a PE egyenes). Mivel a PFE háromszög derékszögű, ezért Thalesz-tétele alapján a ciklois PE normálisa átmegy a generáló kör aktuális E érintési pontján.
![]() |
ciklois004b_01meg_01mjz_a. ábra
|