Árki Tamás és Hraskó András
Kísérletező geometria
Készült a Közoktatási Modernizációs Közalapítvány (KOMA) támogatásával
Bebizonyítjuk, hogy az epiciklois P pontjához tartozó normálisa valóban átmegy a gördülő, valamint a rögzített kör E érintési pontján. Ehhez tekintsük az epiciklois003b_01meg_a. ábra jelöléseit. A P pontbeli érintő irányát két vektor eredőjeként kapjuk; az egyik az , amely merőleges a k kör E pontjához húzott sugarára, a másik a
, amely merőleges a gördülő kör P pontjához húzott sugarára. A csúszásmentes gördülés miatt a két vektor egyenlő hosszúságú, így az epiciklois érintőjének irányát meghatározó
vektor a közös P
kezdőpontba tolt
és
vektorok által
kifeszített rombusz szögfelezőjére illeszkedik. Az ábra jelöléseinek
megfelelően legyen
. Tekintettel arra, hogy a k körben az ET körív hossza ugyanakkora, mint a generáló körben a
megfelelő EP körív hossza, könnyen beláthatjuk, hogy
. Felhasználva,
hogy az EPQ háromszög egyenlőszárú, adódik, hogy
. Az ábrán
továbbá a QP sugár
szöget zár be a P pontba eltolt
vektorral, így az
és
vektorok
által bezárt szögre
adódik. Most már könnyen kiszámolhatjuk, az EP egyenes, valamint az
vektor hajlásszögét:
Ezzel valóban kimutattuk, hogy az epiciklois P pontjához tartozó normálisa átmegy az E érintési ponton. Eredményünk még egy érdekes következménye, hogy a P ponthoz tartozó érintő egyben átmegy a gördülő kör E-vel átellenes pontján is.
![]() |
epiciklois003b_01meg_a. ábra
|