Árki Tamás és Hraskó András
Kísérletező geometria
Készült a Közoktatási Modernizációs Közalapítvány (KOMA) támogatásával
Megmutatjuk, hogy az EP egyenes valóban merőleges a
hipociklois P pontjához húzott érintőjére. Ehhez legyen , ahol
T jelöli a gördülés kezdőpontját (hipociklois003b_01meg_a. ábra; az
ábrának megfelelően csak arra az esetre szorítkozunk, amikor ez a szög
hegyesszög). Ekkor a csúszásmentes gördülés miatt a gördülő körben mért
megfelelő EP köríven nyugvó középponti szögre
. A P
pontra kétféle erő hat; a generáló kör P pontjához tartozó érintő
irányába mutató
, valamint az E pontban a k körhöz húzott érintő irányába mutató
. A hipociklois
érintője párhuzamos az
vektorral. A
csúszásmentes gördülés pontosan azt jelenti, hogy az
és
vektorok
egyenlő hosszúságúak, aminek közvetlen következménye, hogy az
vektor
éppen az
és
vektorok által
kifeszített rombusz szögfelezőjére illeszkedik.
![]() |
hipociklois003b_01meg_a. ábra
|
Nem túl bonyolult, de kissé hosszadalmas szögszámolás
következik. Láthatjuk, hogy , továbbá az EQP egyenlőszárú háromszögben
Az
vektor
merőleges az EO szakaszra, ezért (ahogy azt az ábrán satírozással jelölt
háromszögből is leolvashatjuk) tartóegyenese
szöget zár be a generáló
kör PQ sugarával. A
vektor merőleges az QP szakaszra, amiből könnyen adódik, hogy az EP egyenessel bezárt szöge
.
Végül kiszámoljuk a P kezdőpontba tolt vektorok hajlásszögét;
amiből következik, hogy a megfelelő átlóvektoruk szöget
zár be mindkét vektorral. Ekkor a hipociklois érintője, valamint az EP
egyenes által bezárt szögre
adódik. Ezzel igazoltuk, hogy az EP egyenes a hipociklois P pontjához tartozó normálisa.