F₁.:

Ezek valódi osztók:2, 3, 4, 6, 8, 12

Kellenek a felépítendő számba a következő prímkártyák:

2  -mert a 2 osztó
3  -mert a 3 is osztó
2  -még egy 2-es kell, mert a 4 = 2·2 is osztó
2  -egy harmadik 2-es is kell, mert a 8=2·2·2 is osztó

Most azonban készen vagyunk, hiszen van már a felépítményben 2·3, így a 6 osztó, és van 2·2·3 is, tehát a 12 is osztó és ezzel minden feltétel kielégítettünk.

Felesleges elemet nem használtunk fel: három 2-esre szükségünk van, mert az építendő szám 8-cal osztható, egy 3-as is kell, a 3-mal való oszthatóságért, így e négy prímre szükségünk van. Ez tehát a legkisebb kívánt tulajdonságú szám.

F₂ / 2.:

Ezek valódi osztók, de lehet, hogy néhányat elvesztettem, add meg ezeket is
2 ,3 ,5 ,6 ,7, 35, 21, 15, 30, 42, 105

Mivel a szám prímosztói a 2, 3, 5, 7, ezek nyilván építőkövekként szerepelnek. Az ezekkel felépíthető összetett osztók:

2 prím: 2·3, 2·5, 2·7, 3·5, 3·7, 5·7, azaz 6, 10, 14, 15, 21, 35
3 prím: 2·3·5, 2·3·7, 2·5·7, 3·5·7, azaz 30, 42,70, 105
4 prím: 2·3·5·7, ami nem valódi osztó, ha több prímet nem építünk a számba

Minden megadott osztó előáll e négy prímből, ezért a keresett szám a 2·3·5·7 = 210.
A hiányzó osztók pedig :10, 14, 70

F₂ / 3.:

21-gyel osztható négyzetszám

21=3·7, ezért az építendő szám téglái közt 3-as és 7-es szerepel.
A négyzetszámok felírhatok két egyenlő tényező szorzataként – afféle „ikerház” alakban, ezért mind a 3-as, mind a 7-es prímnek kell egy pár. A keresett szám így a (3·7)·(7·3) = 441

Megjegyzés

Természetesen tökéletes ez a megoldás is:

A négyzetszámok növekvő sorrendben: 1, 4, 9, 16, 25, stb
E sorban az első, mely osztható 21-gyel a 441. Még ügyesebb változat, ha felsorolásunkban csak a 7-tel osztható négyzetszámok szerepelnek.

Legegyszerűbb DE típushibás! megközelítés pedig, hogy négyzetszámunk 21-gyel osztható, tehát a legkisebb ilyen a 21·21. Ha szerencsénk van így okoskodik egy diákunk, ha mégsem, megtehetjük mi is felemlítve például, hogy „egyszer egy tanulótól eme okoskodást hallottuk, mit szóltok hozzá?”

A LEGKISEBB n-nel OSZTHATÓ NÉGYZETSZÁM AZ n · n

Ne áruljuk el a hibát, keressenek olyan számot, melyet az előbbi nyitott mondatba írva hamis állítást kapunk, és máris megleljük a gondolkodás hibáját is! (n = 9, 12, 18, stb.

Ha az n-be írt számnak van ismétlődő prímtényezője, már jó ellenpélda, hiszen ahhoz, hogy négyzetszámmá egészítsük ki elégséges azonos prímjeinek számát párossá tenni, de nem kell minden prímjét megismételni. Előbbi példánkon.12 = 2·2·3 esetében egyetlen 3-as elég a négyzetszámmá váláshoz, a 2-es prímeket nem kell megismételni.)

Építkező módszerünk nem egyedüli, üdvözítő, hanem olyan mankó, melyre bizton támaszkodhatunk, midőn más ötletünk éppen nem adódik. Minél többféleképp oldjuk meg a felvetett problémákat, annál inkább szoktatunk, tanítunk GONDOLKODÁSRA, és célunk ez, nem az, hogy megoldási rutinokat, kötelezően bejárandó útvonalakat nyújtsunk.

F₂ / 4.:

8-cal osztható négyzetszám, aminek az utolsó számjegye 0

 Az első feltétel miatt három 2-es prímtényező szükséges. Ha a szám utolsó jegy 0, akkor ( és csak akkor) a szám 10-zel osztható tényezőinek egyike tehát 5-ös. Négyzetszám lévén azonban minden prímjéből páros sok kell. Hogy a legkisebb ilyet építsük nyilván a legkevesebb építőelemet használjuk, így még egy 2-est és még egy 5-öst építünk be, s már kész is a keresett szám: 2·2·2·5 · 2·5 = 2·2·5 · 5·2·2

F₂ / 5.:

négyzetszám, aminek a duplája is négyzetszám

Ha egy számot 2-vel szorzunk, úgy 2-es prímjeinek darabszáma 1-gyel nő, ezzel paritást vált (ha páros sok volt most páratlan sok van, és fordítva) , így a szám és duplája egyidejűleg nem tartalmazhat páros sok 2-es téglát. Mivel minden négyzetszámnak páros sok 2-téglája van, ezért egy szám és a duplája egyszerre nem négyzetszám.