Részletes-2

F₄.:

Két szám legnagyobb közös osztója a 12, az egyikszám 48. Mennyi lehet a másik?

Megoldás:

Mindkét szám prímjei közt szerepel 2·2·3, több 2-es nem kerülhet a keresett számba, mert 48=2·2·(2·2·3), így a lnko megváltozna. 12-nek tehát bármely páratlan többszöröse megoldás.

F₅.:

Három természetes szám közül az első kettő legnagyobb közös osztója a 6, a második és harmadik legnagyobb közös osztója a 10. Mi lehet ez a három szám?

Megoldás:

Építsük fel ezeket a számokat. I. (a;b) = 6, II. (b;c)=10 jelölésekkel élünk.
I. miatt a és b prímjei közt szerepel 2·3. II. okán viszont b egy 5-össel is bír, míg c eddig 2·5-ből áll.
Az a=2·3, b=2·3·5, c=2·5 számhármas megfelel követelményeinknek.
További megoldások végtelen hosszú sorát gyárthatjuk le újabb prímek hozzávételével, csupán arra kell figyelni, hogy a közös osztókat ne „rontsuk el”.
Pl.: (6; 60; 10), (6; 120;10), (42; 30; 10) stb.

F₆.:

Hány olyan tovább már nem egyszerűsíthető 0 és 1 közötti tört van, amelynek 100 a nevezője?

1. megoldás:

A keresett törtek számlálója a 100-hoz relatív prím. 100 =2·2·5·5, így a számlálónak 2-es és 5-ös tényezője nem lehet. Páratlan szám 100-ig van 50, ebből 10 db 5-tel osztható marad tehát 40 db.

2. megoldás:

Mivel 2-vel vagy 5-tel nem lehet osztható a keresett számlálók egyike sem, ezért végződéseik csak 1, 3, 7, 9 lehetnek. Minden 10-es blokkban van tehát 4 jó szám, ez 4·10=40 db.

F₇.:

Lucának két testvére van. Hármójuk életkorának szorzata 30, összege 14. hány évesek külön-külön? (A gyerekek életkora egész szám)

Megoldás:

A lehetséges szorzatok: 1·1·30, 1·2·15, 1· 3·10, 1·5·6, 2·3·5. Ezek közül csak egy olyan van, ahol a tényezők összege 14, az 1, 3, 10. Ezért a gyerekek életkora 1, 3 és 10 év.