Jele:

Példa: ha

, akkor

.
(azaz a természetes számok száma végtelen)

Az összes részhalmaz halmaza

Jele: P(S)
Példa: ha

, akkor

,
így

és

.
Általánosan:
Ha

, akkor

.

Összetett számok: Az 1-en és önmagukon kívül van más pozitív osztójuk is (azaz van valódi osztójuk).
Prímek: Pontosan két osztójuk van, az 1 és önmaguk.
1: Az 1 se nem prím, se nem összetett szám.

Ha egy szám többszöröse a-nak is és b-nek is, akkor többszöröse a legkisebb közös többszörösnek is.

Jelölés: (a;b)
Eljárás: A prímtényezős felbontásban a közös tényezők közül a legkisebb kitevőjűeket összeszorozva megkapom a két szám legnagyobb közös osztóját. Példa:

Ha egy szám osztja a-t is és b-t is, akkor osztója a legnagyobb közös osztónak is.

Jelölés: [a;b]
Eljárás: A prímtényezős felbontásból az összes prímtényezőt a lehető legnagyobb hatványon összeszorozva megkapjuk a két szám legkisebb közös többszörösét. Példa:

Példa: 3572 3-mal osztva 3

1+5

1+7

1+2

1=3+5+7+2=17, vagyis 2 maradékot ad.

Példa: 537247 11-gyel osztva (+7)+(-4)+(2)+(-7)+(3)+(-5)=7-4+2-7+3-5=-4, vagyis 537247 11-gyel osztva 7 (-4) maradékot ad.

2-re, 3-ra, 7-re és 8-ra végződő szám nem lehet négyzetszám.
Ha egy szám osztható 2-vel, de nem osztható 4-gyel, nem lehet négyzetszám.
Ha egy szám osztható 3-mal, de nem osztható 9-cel, nem lehet négyzetszám.
Ha egy szám osztható 5-tel, de nem osztható 25-tel, nem lehet négyzetszám.
Ha egy szám 3-vel osztva 2 maradékot hagy, nem lehet négyzetszám.
Ha egy szám 4-gyel osztva 2 vagy 3 maradékot hagy, nem lehet négyzetszám.
Ha egy szám 9-cel osztva 2,3,5,6 vagy 8 maradékot hagy, nem lehet négyzetszám.

A prímtényezős felbontásból a kitevőket 1-gyel megnöveljük, majd ezeket összeszorozzuk, így megkapjuk az osztók számát.
Példa:

, tehát

osztója van 12-nek.

Az osztó prímtényezői között csak a szám prímtényezői lehetnek. Kiválasztok egy prímtényezőt. Ezt az osztóba (kitevő+1)-féle hatványon választhatom be, mert a kitevő lehet 0 is. Ugyanezt a választást külön-külön meg kell tenni minden egyes prímtényezőnél, hogy megkapjuk az osztó prímtényezős alakját. Az 1-gyel megnövelt kitevők szorzata megadja, hogy ezt összesen hányféleképpen tehetjük meg, figyelembe véve az összes prímtényezőt, tehát megadja az osztók számát.

Példa:

esetén:

;

két pont összekötése egyenessel
két egyenes metszéspontjának a megrajzolása
kör rajzolása, ha adott a középpontja és egy pontja, vagy a sugara (két pont, melyek távolsága megegyezik a sugárral)
kör és egyenes metszéspontjának a megrajzolása
két kör metszéspontjának a megrajzolása
ezek véges számú ismétlése

Távolságok

Két pont távolsága:: A két pontot összekötő szakasz hossza.
Pont és egyenes távolsága: A pontból az egyenesre állított merőleges szakasz hossza.
Két egyenes távolsága: ha nem párhuzamosak: 0,; ha párhuzamosak: az egyik egyenes egyik pontjából a másik egyenesre bocsátott merőleges szakasz hossza.

Vissza a tartalomhoz

Gauss-féle összeszámlálás

1	+	2	+	3	+	...	+	(n-1)	+	n
n	+	(n-1)	+	(n-2)	+	...	+	2	+	1
n+1		n+1		n+1				n+1		n+1

1-től n-ig a számok összege

.

Fölírom 1-től n-ig a számokat, majd alá visszafele. Így minden pár összege

. Mivel n elem van, a két sor összege

, de minden számot kétszer számoltunk, tehát 1-től n-ig a számok összege

.

Vissza a tartalomhoz

A háromszög nevezetes vonalai

Szögfelező

Két metsző egyenes a síkot négy szögtartományra osztja. Az egyes szögtartományon belül azok a pontok, amelyek egyenlő távolságra vannak a két adott egyenestől egy-egy félegyenest alkotnak.

Egy ilyen félegyenes az adott szög szögfelező félegyenese. Meghosszabbításával együtt a szög szögfelező egyenese. A négy szög szögfelezői összesen két teljes egyenest alkotnak, melyek egymásra merőlegesek.
A háromszög belső szögfelezőinek a háromszög oldalegyeneseinek egymással bezárt (és a háromszöglapot tartalmazó) szögének szögfelezőit nevezzük. A belső szögfelezők egy pontban metszik egymást.

A szögfelezők egy pontban metszik egymást.

BD egyenese egyenlő távolságra van AB-től és CB-től. AD egyenese egyenlő távolságra van AC-től és AB-től. Ennek következtében BD és AD metszéspontja egyenlő távolságra van mindhárom oldaltól, így a CD szögfelezőnek is át kell mennie a D ponton. Tehát a szögfelezők egy pontban metszik egymást.

Ez a pont a beírható kör középpontja (hiszen mindhárom oldaltól egyenlő távolságra van).
D mindig a háromszögön belül van. (A fent leírtak minden típusú háromszögre igazak.)

Oldalfelező merőleges

Olyan egyenes, melynek pontjai egyenlő távolságra vannak a háromszög valamely két csúcsától.
Minden oldalfelező merőleges merőleges az oldalra, és felezi azt.

Az oldalfelező merőlegesek egy pontban metszik egymást.

Az FD egyenes egyenlő távolságra van A-tól és C-től. A GD egyenes egyenlő távolságra van B-től és C-től. Így ezek metszéspontja egyenlő távolságra van A-tól, B-től és C-től. Mivel az ED egyenes egyenlő távolságra van A-tól és B-től, át kell mennie D-n, tehát az oldalfelező merőlegesek egy pontban metszik egymást.

Ez a pont a köréírható kör középpontja.
Hegyesszögű háromszög esetén D a háromszögön belül, derékszögű háromszögnél az átfogó felezőpontján, míg tompaszögű háromszög esetén a háromszögön kívül helyezkedik el (ahogy az ábra is mutatja).

Magasságvonal

A csúcs és a szemközti oldalegyenesre bocsátott merőleges egyenes.

A magasságvonalak egy pontban metszik egymást.

A csúcsokon keresztül merőlegest húzok a magasságvonalakra (ezek párhuzamosak lesznek az oldalakkal). Így AB párhuzamos CI-vel, AC pedig BI-vel, tehát ABIC paralelogramma. Ezért AB = CI. Hasonló módon ABCJ is paralelogramma, tehát AB = CJ, így JC = CI. Mivel JI-re merőleges CG és C JI-nek felezőpontja, ezért a JI oldal oldalfelező merőlegesén rajta van CG. Ugyanezt elvégezve HI oldal oldalfelező merőlegesén rajta van BE és JH oldal oldalfelező merőlegesén rajta van AF. Az oldalfelező merőlegesről már bizonyítottuk, hogy egy ponton metszik egymást, ezért a magasságvonalak is egy pontban metszik egymást. Ez a pont a magasságpont.

(A fent leírtak minden típusú háromszögre igazak.)

Súlyvonal

Az egyik csúcs és a vele szemben lévő oldal felezőpontja meghatározza a súlyvonal félegyenesét.

A súlyvonal a háromszöget két egyenlő területű részre osztja.

Az ADC háromszög területe:

. Ez a területe a DBC háromszögnek is, mert alapjuk (AD = DB) és hozzátartozó magasságuk (GC) egyenlő. Ugyanez vonatkozik az AEC és AEB, CFB és FBA háromszögekre.

A súlyvonalak egy pontban metszik egymást.
A súlyvonalat a súlypont 1:2 arányban osztja föl.
(A fent leírtak minden típusú háromszöge igazak.)

Középvonal

Két oldal felezőpontja meghatározza a középvonal szakaszát.

A középvonal fele olyan hosszú, mint az oldal, mellyel párhuzamos.
A három középvonal négy egybevágó részre bontja fel a háromszöget.

CFE háromszöget kétszeresen nagyítva ABC-t kapom meg. Tehát , , tehát AB FE-vel, BC DF-fel, míg CA DE-vel párhuzamos. CE = EB = FD, CF = FA = DE, AD= DB = FE. Ezekből az adatokból látszik, hogy ADF, DBE, DEF és FEC háromszögek egybevágóak.

(A fent leírtak minden típusú háromszöge igazak.)

A külső szögfelező

A külső szögfelezők metszéspontja a hozzáírható körök középpontja.

Vissza a tartalomhoz

Egybevágósági transzformációk

Tengelyes tükrözés

Tulajdonságok	Példa a szerkesztésre
körüljárási irány változik a tengely pontjai fixpontok egy a tengelyre merőleges egyenes önmagába megy át

Középpontos tükrözés

Tulajdonságok	Példa a szerkesztésre
körüljárási irány nem változik a középpont fixpont egy a ponton átmenő egyenes önmagába megy át egyenes képe vele párhuzamos egyenes

Pont körüli elforgatás

Tulajdonságok	Példa a szerkesztésre
körüljárási irány nem változik az adott pont fix pont az óra járásával ellentétes irány a pozitív irány

Eltolás

Tulajdonságok	Példa a szerkesztésre
körüljárási irány nem változik nincs fixpont vektor: van iránya nagysága két vektor különbsége: két vektor összege:

Vissza a tartalomhoz

A háromszög területe

...az egyik oldal és a hozzátartozó magasság ismeretében

Derékszögű háromszög esetén	Hegyesszögű háromszög esetén	Tompaszögű háromszög esetén

ABC háromszöget egy ezzel egybevágó ACD háromszöggel egészítem ki, így egy téglalapot kapok. Ez esetben a téglalap területe: . Mivel két egybevágó háromszög alkotja a téglalapot, a derékszögű háromszög területe , tehát az alap és a hozzátartozó magasság szorzatának a fele.	Fölhasználom a derékszögű háromszög esetén bizonyítottakat: . A hegyesszögű háromszög esetén (ugyanúgy, mint a derékszögű háromszögnél) , tehát az alap és a hozzátartozó magasság szorzatának a fele.	Kiegészítem ABC háromszöget ADC háromszögre úgy, hogy az derékszög legyen. Itt is felhasználom a derékszögű háromszög esetén bizonyítottakat. , tehát az alap és a hozzátartozó magasság szorzatának a fele.

...a beírható kör sugarának és a kerület felének ismeretében

Jelöljük

-val a beírt kör sugarát és s-sel a kerület felét! DG CA-ra, DF CB-re és DE AB-re merőleges, mivel DG, DF és DE a kör sugara, és ez érinti CA-t, CB-t és AB-t (hiszen a kör érintője merőleges az érintési pontba húzott sugárra). Tehát GD ADC háromszögnek, FD BCD háromszögnek és ED ABD háromszögnek a D-hez tartozó magasságvonala.

.

(Az eljárásnál sehol sem használtuk, hogy a háromszög hegyesszögű, derékszögű vagy tompaszögű, tehát minden háromszögre igaz ez a területképlet.) Tehát a háromszög területe a kerület felének és a beírt kör sugarának szorzatával (

) is megkapható.

A háromszög területe a kerület felénél egyik oldallal kisebb szakasznak és az ezen oldalhoz tartozó hozzáírt kör sugarának ismeretében

Jelöljük

-val a CB oldalhoz írt hozzáírt kör sugarát és s-sel a kerület felét!

. Az egyenlet jobb oldalán mindegyik háromszögnek D-hez tartozó magasságvonala:

. Ennek segítségével kiszámolható ABC háromszög területe:

Az eljárásnál sehol sem használtam, hogy a háromszög hegyesszögű, derékszögű vagy tompaszögű, tehát az összes típusú háromszögre alkalmazható az eljárás. Tehát a háromszög területe az alábbi módon is kiszámolható: a kerület feléből kivonok egy oldalt és ez beszorzom az ehhez tartozó hozzáírt kör sugarával.

Vissza a tartalomhoz

Látókör

	: AB-hez tartozó középponti szög. : AB-hez tartozó kerületi szög. Az AB-hez tartozó középponti szög 2-szerese az AB-hez tartozó kerületi szögnek. Ennek bizonyításához vizsgáljuk meg a lehetséges eseteket!
Mivel , a egyenlőszárú, így a . Ebből kiszámítható , majd ebből az .		Képzeletben fel kell osztani a szöget két olyan esetre, mint az első. Ebből már megkapjuk a szöget:
AB-hez tartozik. AC-hez , AC középponti szöge az első eset alapján . BC-hez tartozik, BC középponti szöge az első eset alapján .		Ebben a különleges esetben a középponti szögtől kell indulni. Azt kell felhasználni, hogy az egyenlőszárú háromszögben a szögfelező merőleges az oldalra.

Vissza a tartalomhoz

Függvények

Definíciók

Függvényről beszélünk akkor, ha az A halmaz minden eleméhez egyértelműen rendelünk elemet a B halmazból.

Jelölések:

Az értelmezési tartomány azon elemek halmaza, melyekhez hozzárendelünk.

Az értékkészlet azon elemek halmaza, melyeket hozzárendelünk.

A függvény gyöke (zérushelye) az értelmezési tartomány azon eleme, ahol az érték 0 (Egy függvény értéke ott 0, ahol a grafikonja metszi az x tengelyt).

Növekvő az a függvény, ahol

és

.

Csökkenő az a függvény, ahol

és

.

Vízszintes (konstans) függvény az a függvény, ahol az értékkészlet egy konstans (állandó).

Lineáris függvény

A lineáris függvény egyenlete:

, ahol

a - meredekség
b - az a pont, ahol az y tengelyt metszi a függvény.
x - változó

Két lineáris függvény párhuzamos, ha meredekségük megegyezik, míg akkor merőleges, ha meredekségük szorzata -1.

Abszolútérték függvény

Az abszolútérték függvény egyenlete:

, ahol

az értelmezési tartomány -
az értékkészlet -

Egészrész függvény

Az egészrész függvény egyenlete:

Egy szám egészrészén értjük a nála nem nagyobb egészek közül a legnagyobbat.

Törtrész függvény

A törtrész függvény egyenlete:

A törtrész definíciója -

Előjel függvény

Az előjel függvény egyenlete:

1/x függvény

Az

függvény egyenlete:

, ahol

az értelmezési tartomány: , ahol
az értékkészlet: , ahol

A nevezőben lévő konstansnak (c) az ellentettjén keresztül húzott az y tengellyel párhuzamos egyenes a hiperbola egyik asszimptotája.

A függvényhez hozzáadott konstanson keresztül húzott az x tengellyel párhuzamos egyenes a hiperbola másik asszimptotája.

A hiperbola az aszimptotát tetszőleges távolságra megközelíti, de soha nem éri el azt.

Vissza a tartalomhoz

Pascal-háromszög

									0. oszlop
0. sor								1		1. oszlop
1. sor							1		1		2. oszlop
2. sor						1		2		1		3. oszlop
3. sor					1		3		3		1
4. sor				1		4		6		4		1
5. sor			1		5		10		10		5		1
		1		6		15		20		15		6		1
	1		7		21		35		53		21		7		1
1		8		28		56		70		56		28		8		1

A Pascal-háromszög alapelve: az adott elem mindig a fölötte lévő két elem összege.

Megjegyzés: A sorok vízszintesen, az oszlopok átlósan helyezkednek el.

A Fibonacci-sorozat összefüggése

1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34,
A Fibonacci-sorozat alapelve: az adott elem mindig az előtte lévő két elem összege.

Ha a Pascal-háromszöget az alábbi módon átrendezzük, átlós irányban a számok összege rendre megegyezik a Fibonacci-sorozat elemeivel.

1
1	1
1	2	1
1	3	3	1
1	4	6	4	1
1	5	10	10	5	1
1	6	15	20	15	6	1
1	7	21	35	35	21	7	1
1	8	28	56	70	56	28	8	1

A részhalmazok összefüggése

						1. elem
		0. sor			1		2. elem
	1. sor			1		1		3. elem
2. sor			1		2		1
		1		3		3		1
	1		4		6		4		1
1		5		10		10		5		1

n elemű halmaz k elemű részhalmazainak a száma a Pascal-háromszög n-edik sorának a k-adik eleme.

Megjegyzés: Az elemek itt is átlós irányra vonatkoznak.

Binomok hatványa

				1
			1		1
		1		2		1
	1		3		3		1
1		4		6		4		1

Vissza a tartalomhoz

Két halmaz egyesítése (uniója) Jele: Példa:
Két halmaz közös része (metszete) Jele: Példa:
Két halmaz különbsége Jele: Példa:
Egy halmaz kiegészítő-halmaza (komplementere) Jele: Példa: