A fenti tulajdonságokat először belátom -re:

Az o egyenesen kiválasztik két pontot, -t és -t. Ezekre a pontokra elvégezzük a -szeres nagyítást, így megkapjuk -t és -t. Húzzuk be ennek az egyenesét! (Fontos, hogy erről az egyenesről nem állítjuk, hogy o' pontjai.) háromszögnek a a középvonala, mert és . Ezért egyenese párhuzamos egyenesével. Most a pont mellé az oegyenesen a pontot veszem föl. A fentiekhez hasonlóan egyenese párhuzamos egyenesével. és egyeneseknek van közös pontja, , és mindkettő párhuzamos egyenesére. Mivel az Euklideszi-geometriában egy adott ponton át egy adott egyenessel csak egy párhuzamos húzható, ezért egyenes egybeesik . Az előzőekből következően o egyenes minden pontja egy vele párhuzamos o' egyenesbe megy (ez egyenese). Még azt kell belátni, hogy o' egyenes minden pontja az o egyenes pontjainak képe. Fölveszek o'-n egy B' pontot. Ezt összekötöm O-val. Mivel és , ezért az háromszög középvonalából következően . Tehát -re egyenes képe vele párhuzamos egyenes lesz, szakasz képe pedig vele párhuzamos és akkora lesz.

Most lássuk be -ra!

-nek , -nek a képe. és pontokat úgy veszem föl, hogy és egyenletek igazak legyenek. háromszög súlyvonala , ezért . Ezekből következik, hogy háromszögben középvonal, tehát . Ebből meg a -ből következik, hogy háromszögben középvonal, tehát . egybeesik . Mivel és , ezért . Az említett háromszögeket és középvonalukat felhasználva: Tehát . A pontot rögzítem, és , ... pontokat veszek föl. Erre a fönti levezetés ugyanígy megcsinálható. Tehát -ra egyenes képe vele párhuzamos egyenes, szakasz képe pegig vele párhuzamos, és 3-szor akkora. (Ezt a gondolatmenetet lehetne folytatni -re, és ugyanezeket kell majd fölhasználni.)

Majd -re!

háromszöggel úgytapétázom ki síkot, hogy mindig a középpontjára tükrözöm (például háromszöget -re tükrözve ABC háromszöget kapjuk). Elnevezem a szögeket. Legyen , és ! Ebből következően , , , , , , , , ... Mivel , ezért egy egyenesen van. Ugyanezen az elven , ... is egy egyenesen van. A pontot rögzítem, és , ... pontokat veszek föl, ezekre ugyan az bebizonyítható. Az egyállású szögekből következően a nagyítás párhuzamos egyenest ad. Tehát a -szeres nagyításnál szakasz képe vele párhuzamos és n-szerese.

Majd végül -ra! Ez a nagyítás egyenlő egy p-szeres nagyítással és egy q-szoros kicsinyítéssel (p és q egész számok). Ezekre már fönt bizonyítottuk a tulajdonságokat, tehát ezek racionális nagyításnál is igazak.

Két háromszög hasonló egymáshoz, ha:

• oldalaik aránya egyenlő
• két oldaluk aránya, és az ezek által közrefogott szögük egyenlő
• két-két oldaluk aránya és e két-két oldal közül a nagyobbikkal szemközt lévő szögük egyenlő
• két-két szögük páronként egyenlő

  Vissza a tartalomhoz

  A párhuzamos szelők tétele

  Ha egy szög szárait párhuzamosokkal metsszük, akkor az egyik száron keletkező szakaszok aránya megegyezik a másik száron keletkező megfelelő szakszok arányával.

  A fent bizonyítottak alapján AB-t egy-egy nagyítással A'B'-be, A''B''-be, A'''B'''-be, A''''B''''-be, ... lehet juttatni. Tehát , , , , Ebből következően , ami így is írható: . , , ... Hasonlóan bármely két párhuzamos szelőrő be lehet látni, hogy egyenlő -vel, tehát egymással is egyenlőek. Így bebizonyítottuk a tételt.

  Vissza a tartalomhoz

  Magasságtétel, befogótétel, Pithagorasz-tétel

  Egy derékszögű háromszögbe a derékszögből behúzom a magasságot, majd elnevezem a szögeket. , , , , , , . Mivel mind a három háromszögben minden szög megegyezik, ezért ezek hasonlóak. . Ezekből az arányokat átírva: a : b : c = m : q : b = p : m : a

  Vissza a tartalomhoz

  Ebből kiválasztom a következő arányt:

  Magasságtétel Egy derékszögű háromszögben a derékszögből kiinduló magasságvonal hossza az átfogóból az általa kiszelt két szakasz mértani közepe.

  Vissza a tartalomhoz

  Másik két aránypárt kiválasztva:

  Majd másik kettőt, ami lényegében ugyan ez:

  Befogótétel Egy derékszögő háromszög egyik befogója egyenlő a derékszögből kiinduló magasságvonal által levágott vetületének és az átfogó mértani közepével.

  Vissza a tartalomhoz

  Pithagorasz-tétel

  Egy derékszögő háromszögben a két befogó négyzetének összege egyenlő az átfogó négyzetének összegével.

  
  A fentiekből tudjuk, hogy , ,
  valamint azt, hogy .
  Így .

  1. sz. ábra

  Állítás Az állítás a Pitagorasz-tétel másik megfogalmazásával geometriai úton is bizonyítható. E szerint a derékszögű háromszög befogóira rajzolt négyzetek területének összege az átfogóra rajzolt négyzet területével egyenlő. Ennek belátásához daraboljuk fel az alábbiak szerint az a+b oldalú négyzetet.

  2. sz. ábra

  Ha ezt a 2. sz. ábrán látható módon végezzük el, akkor a négyzet négy, az eredetivel egybevágó derékszögű háromszögre és a PGRS négyszögre (oldalai egyenlősége miatt rombuszra) bomlik. Miután a derékszögű háromszögek szögeire teljesül, így Emiatt a PQRS rombusz területű négyzet. A nagy négyzet területe . A négy egybevágó derékszögű háromszögnek a területe összesen: A nagy négyzetből elhagyva a négy derékszögű háromszöget: . Ebből összefüggés következik.

  3. sz. ábra

  Bizonyítás II Tekintsük a következő ábrát! (3. sz. ábra) Az ADB derékszögű háromszög minden oldalára négyzetet emeltünk. A derékszögű csúcsból merőlegest állítottunk a JI-re. Behúztuk az AG és DJ szakaszt. ABG háromszög egybevágó JBD háromszöggel. Mivel két oldaluk és egy közrezárt szögük egyenlő: AB=JB és BD=BG és közre zárt szögük: . ABG háromszög egyenlő BGHD négyzet felével. Válasszuk alapnak a háromszög BG oldalát. Az oldalhoz tartozó magasság egyenlő HG-vel, mivel merőleges BG-re és AH-ra is, így egybevihető a magassággal. Hasonlóan belátható, hogy JBD háromszög fele KJBL téglalapnak. Mivel ABG háromszög és JBD háromszög területe egyenlő, ezért a kétszeresük is egyenlő, azaz LKJB téglalap és BGHD négyzet területe egyenlő. Ugyanígy belátható, ha ABF háromszög és AID háromszög hasonlóságát tekintem, hogy ADEF négyzet és AIKL téglalap egyenlő. Így: LKJB+AIKL= BGHD+ ADEF, azaz .

  Vissza a tartalomhoz

   

  Kombinatorika

  Ismétlés nélküli permutáció Adott n különböző elem egy sorrendjét az elemek egy ismétlés nélkülipermutációjának nevezzük. Száma: Pl.: Hány féleképpen lehet sorbarendezni az a, b, c betűket úgy, hogy pontosan egyszer használunk fel minden betűt? abc, acb, bac, bca, cab, cba 6-féleképpen

  Vissza a tartalomhoz

  Ismétléses permutáció Ha adott n olyan elem, amelyek között számú egyenlő elem fordul elő, és képezzük az adott n elem egy sorrendjét, akkor ismétléses permutációról beszélünk. Száma: Pl.: Van 1 fehér és 2piros kártyám, hányféleképpen rendezhetem sorba őket? fpp, pfp, ppf 3-féleképpen

  Vissza a tartalomhoz

  Ismétlés nélküli kombináció Ha adott n különböző elemből kiválaszthatunk k elemet úgy, hogy egy elem csak egyszer választható és az elemek sorrendjére nem vagyunk tekintettel, akkor n elem k-ad osztályú ismétlés nélküli kombinációjáról beszélünk. Száma: Pl.: Van egy kék, piros és sárga labdám, válassz ki közülük, kettőt! Hányféleképpen tudod ezt megtenni? kp, ks, ps 3-féleképpen

  Vissza a tartalomhoz

  Ismétléses kombináció Ha adott n különböző elem közül k elemet úgy választunk ki, hogy egy elem többször is választható és az elem sorrendjére nem vagyunk tekintettel, akkor n elem egy k-ad osztályú ismétléses kombinációját kapjuk. Száma: Pl.: Egy urnában van egy kék, egy zöld és egy piros golyóm. Húzzál ki a golyók közül kettőt úgy, hogy húzás után visszateszed a golyót. Hányféle színösszeállítása lehet a húzott golyóknak? pp, pk, pz, kk, kz, zz 6-féle

  Vissza a tartalomhoz

  Ismétlés nélküli variáció Ha adott n különböző elem közül kiválasztunk k elemet, és ezek permutációját képezzük, akkor n elem k-ad osztályú, ismétlés nélküli variációjáról beszélünk. Száma: Pl.: Van egy urnába egy sárga, egy kék és egy zöld golyóm. Hányféleképpen húzhatok ki két golyót? sk, sz, ks, kz, zs, zk 6-féleképpen

  Vissza a tartalomhoz

  Ismétléses variáció Ha adott n különböző elem közül kiválasztunk k elemet úgy, hogy egy elemet többször is kiválasztunk, majd a kiválasztott elemeket permutáljuk akkor n elem k-ad osztályú ismétléses variációját kapjuk. Száma: Pl.: Van három színem egy kék, egy piros és egy zöld. Egy kétsávos zászlót hányféleképpen színezhetek ki úgy, hogy egy színt többször is felhasználhatok? kk, kp, kz, pk, pp, pz, zk, zp, zz 9-féleképpen

  Vissza a tartalomhoz

  Valószínűségszámítás Kísérlet: Vannak olyan jelenségek, amiket sokszor meg tudunk figyelni. Ilyen például a lottóhúzás. Egy ilyen megfigyelést szoktak ,,kísérletnek'' is nevezni.

  Vissza a tartalomhoz

  Esemény: Egy kísérlet kimenetelére különböző állításokat fogalmazhatunk meg. Ha az állítás igaz vagy hamis volta csak a kísérlet kimenetelétől függ, akkor az állítást eseménynek nevezzük. Jelölése általában nagybetűvel történik. Ilyen például - a lottóhúzásra vonatkozó - ,,A kihúzott számok között van páratlan.'' Legyen ez az A esemény. Események összegén azt az eseményt értjük, ami pontosan akkor következik be, ha az események közül legalább az egyik bekövetkezik. Jelölése: +. Pl. A=C+D+E+F+G. Két esemény szorzata az az esemény, mely pontosan akkor következik be, ha mindkét esemént bekövetkezik. Jelölése: Pl. B.E Egy A esemény kiegészítő eseménye az az esemény, mely pontosan akkor következik be, ha A nem. Jelölése: . Pl.: és nyilván . Lehetetlen esemény: Az az esemény, ami soha nem következik be, a lehetetlen esemény. Jelölése: . Pl. G= . Két esemény kizárja egymást, ha szorzatuk , pl. EF= . Az az esemény, ami biztosan bekövetkezik, a biztos esemény. Ált. , biztos esemény.

  Vissza a tartalomhoz

  Valószínűség: B egy tetszőleges esemény valószínűsége: ahol kedvező elemi esemény az, ami esetén a B esemény bekövetkezik. Tulajdonságai: Minden A eseményre 0 P(A) 1. P(biztos esemény)=1, P( )=0

  Vissza a tartalomhoz