Az aktuárius biztosítási matematikust jelent. Ilyen végzettségű emberek bankoknál, biztosítóknál, nyugdíjpénztáraknál, könyvvizsgálóknál és egyéb pénzzel kapcsolatos helyeken dolgoznak.
Ez az anyag a 2002-ben a győri Rátz László Vándorgyűlésen elhangzott előadásom alapján készült, lényegében a diasorozatot láthatjuk néhány kiegészítő kommentárral. Az alábbi felsorolás tartalmaz néhány olyan címszót is, ami nem tárgya ennek az anyagnak, inkább csak a továbbhaladás egy lehetséges irányát jelöli ki.

Pénzügyi matematika	Életbiztosítások matematikája
- Kamat, diszkont - Hiteltörlesztési tervek, teljes hiteldíj-mutató - Járadékszámítás - Pénzáramlások jelenértéke - Évjáradékok jelenértéke - Értékpapírok elméleti árfolyama - Hozam és megtérülés	- Demográfiai alapfogalmak - Halálozási görbék, várható élettartam - Életbiztosítások alaptípusai és nettó egyszeri díjuk - Évi díjfizetés mellett szükséges díjak - Nyugdíj - Bruttó díjak - Díjtartalék, annak hozama és következményei

Ebben az egyszerű bevezető tanulmányban kéttípusú, elemi számítási feladatokat fogunk megoldani. Az első részben pénzügyi matematikából nézünk néhány hitelre, kamatra vonatkozó példát, azután a biztosítási matematikából az életbiztosítások alaptípusainak áttekintése után ezek nettó díját számoljuk ki.

Először lássunk néhány feladatot pénzügyi matematikából. Ez olyan téma, amely régebben a diákoknak is, ezért nekem is a nemszeretem témák közé tartozott. A körülöttünk lévő világ változásával azonban az utolsó 8-10 évben megnőtt az érdeklődés minden a pénzzel kapcsolatos ismeret, számítás iránt. Ez nem is csoda, hiszen a bankok például a hitelek nyújtása esetén fantasztikus kamatcsökkentéssel, betétlekötés esetén pedig fantasztikus kamatemeléssel kápráztatnak el mindenkit. Közben általában nem vesszük észre az alsó sorban megbúvó betűket: THM vagy EBKM, melyek az összehasonlíthatóságot szolgálják. A THM jelentése teljes hiteldíj mutató, amely nagyjából azt mutatja meg, mennyibe kerül valójában a hitel. Ez a szám a hitel kamatánál általában jóval nagyobb szám, hiszen a hitelen kívül megfizetjük az elbírálási költséget, a kezelési költséget, az éves zárási költségeket és ki tudja még mit.

Az EBKM jelentése egységesített betéti kamatlábmutató. Az EBKM és a pénzintézet által meghirdetett  betéti kamatláb annyiban tér el egymástól, hogy míg az éves banki kamatlábak általában 360 napra vetítve kerülnek megállapításra, s egy évnél rövidebb futamidő esetén a kamat visszaforgatását, tőkésítését nem veszik figyelembe, addig az EBKM egy adott év, azaz 365 nap elteltével mutatja az elhelyezett betét után fizetendő kamatösszeg nagyságát. Elképzelhető azonban az is, hogy a bank nem éves, hanem rövidebb vagy hosszabb időszak kamatlábát közlik. Betétlekötés esetén érdemes tehát a bankok kínálatában ezt a mutatót keresni

Most lássunk néhány példát!

Mivel X pénzösszeg i kamatláb mellett n év múlva   összeget ér, ezért az n év múlva  jelentkező Y pénzösszeg kifizetéséhez ma csak  összeget kell félretenni.
Az X pénzösszeget az Y pénzösszeg jelenértékének hívják.
A  kifejezést az i kamatlábhoz tartozó diszkonttényezőnek hívják.
Az évente fizetendő részlet ( x ) kiszámítása jelenértékkel: ahonnan  x = 159761,5 Ft

Érdemes itt megkérdezni, vajon hányadik évben fogja a tőketörlesztés meghaladni a kamattörlesztést.
(Érdekesebb, ha Ön is tippel, mielőtt megnézné a grafikont!)

Nem a legnépszerűbb téma. Akkor találkozunk a biztosítókkal, ha meghalt, leégett, ellopták, balesetet szenvedett. Mégis úgy gondolom az egyik legjobb lehetőség a statisztika hasznának bemutatására, a mostani elvárásnak megfelelő “életszerű” példák konstruálására.

A biztosítási üzletet többféleképpen szokták felosztani. Mi most egy lehetséges felosztást vázolunk néhány fontos és alapvető eltérést említve.

ÁG	ÉLET	NEM-ÉLET
Tartam	5-25 év	1 év
Káringadozás	kicsi	nagy
Felmondás	nincs	évfordulón
	összegbiztosítás	kárbiztosítás

A legalsó sor azt jelenti, hogy míg például egy autónál a biztosító a ténylegesen bekövetkezett kárértéket (vagy annak meghatározott részét) fizeti ki, az életbiztosításokat előre meghatározott összegre kötik, értelmetlen arról beszélni, kinek mennyit ér az élete.

A továbbiakban csak az egyszerűbben kalkulálható életbiztosításokkal foglalkozunk.

Halálozási valószínűség (q_x,1): annak valószínűsége, hogy egy x éves egyén meghal az x+1-edik születésnapja előtt

Megélési valószínűség (p_x,1):     annak valószínűsége, hogy egy x éves egyén megéli az x+1-edik születésnapját

Halandósági táblázat tartalmazza, hogy egy 100 000 fős populációt alapul véve hányan érnék meg az adott x éves kort. Ezt a számot  l_x  jelöli.

Azoknak az  x éves egyének számát, akik meghaltak az x+1-edik születésnapjuk előtt  d_x jelöli. ( jelöli a halandósági táblázat készítésénél figyelembe vett legmagasabb életkort, és )

Példaként az 1993-as férfi és női halandósági táblázat két-két oszlopát mutatjuk itt be.

Halandósági tábla ( 1993 )

	Férfi		Nő
Belépési életkor (x)	lf(x)	df(x)	ln(x)	dn(x)
0	100 000	1 366	100 000	1 106
1	98 634	81	98 894	67
2	98 553	56	98 827	45
3	98 497	49	98 782	44
4	98 448	30	98 738	29
5	98 418	22	98 709	16
6	98 396	24	98 693	13
7	98 372	28	98 680	15
8	98 344	31	98 665	18
9	98 313	31	98 647	19
10	98 282	29	98 628	18
11	98 253	24	98 610	16
12	98 229	20	98 594	16
13	98 209	22	98 578	22
14	98 187	37	98 556	37
15	98 150	43	98 519	33
16	98 107	53	98 486	33
17	98 054	66	98 453	34
18	97 988	79	98 419	35
19	97 909	93	98 384	35
20	97 816	105	98 349	37
21	97 711	114	98 312	38
22	97 597	121	98 274	39
23	97 476	129	98 235	41
24	97 347	137	98 194	44
25	97 210	149	98 150	49
26	97 061	163	98 101	56
27	96 898	177	98 045	64
28	96 721	194	97 981	73
29	96 527	215	97 908	84
30	96 312	241	97 824	97
31	96 071	272	97 727	111
32	95 799	307	97 616	127
33	95 492	345	97 489	144
34	95 147	386	97 345	163
35	94 761	433	97 182	181
36	94 328	485	97 001	200
37	93 843	541	96 801	219
38	93 302	601	96 582	240
39	92 701	660	96 342	259
40	92 041	717	96 083	281
41	91 324	768	95 802	300
42	90 556	816	95 502	319
43	89 740	863	95 183	339
44	88 877	916	94 844	361
45	87 961	978	94 483	387
46	86 983	1 051	94 096	420
47	85 932	1 130	93 676	454
48	84 802	1 212	93 222	492
49	83 590	1 293	92 730	530
50	82 297	1 369	92 200	568
51	80 928	1 437	91 632	601
52	79 491	1 500	91 031	632
53	77 991	1 561	90 399	664
54	76 430	1 623	89 735	702
55	74 807	1 692	89 033	749
56	73 115	1 764	88 284	804
57	71 351	1 836	87 480	867
58	69 515	1 908	86 613	934
59	67 607	1 980	85 679	1 005
60	65 627	2 048	84 674	1 079
61	63 579	2 113	83 595	1 150
62	61 466	2 172	82 445	1 219
63	59 294	2 228	81 226	1 293
64	57 066	2 281	79 933	1 378
65	54 785	2 333	78 555	1 479
66	52 452	2 382	77 076	1 593
67	50 070	2 425	75 483	1 714
68	47 645	2 460	73 769	1 842
69	45 185	2 486	71 927	1 977
70	42 699	2 502	69 950	2 118
71	40 197	2497	67832	2247
72	37 700	2 471	65 585	2 362
73	35 229	2 442	63 223	2 483
74	32 787	2 420	60 740	2 626
75	30 367	2 411	58 114	2 802
76	27 956	2 500	55 312	3 069
77	25 456	2 431	52 243	3 208
78	23 025	2 356	49 035	3 340
79	20 669	2 275	45 695	3 460
80	18 394	2 184	42 235	3 560
81	16 210	2 083	38 675	3 634
82	14 127	1 971	35 041	3 675
83	12 156	1 846	31 366	3 675
84	10 310	1 708	27 691	3 626
85	8 602	1 557	24 065	3 523
86	7 045	1 396	20 542	3 362
87	5 649	1 227	17 180	3 142
88	4 422	1 054	14 038	2 868
89	3 368	882	11 170	2 547
90	2 486	715	8 623	2 192
91	1 771	559	6 431	1 820
92	1 212	420	4 611	1 450
93	792	300	3 161	1 102
94	492	204	2 059	793
95	288	130	1 266	538
96	158	78	728	340
97	80	43	388	198
98	37	21	190	106
99	16	10	84	51
100	6	6	33	33

Tanulságos az adatokat grafikonon is megnézni.

Technikai kamat (i): az a kamat, amellyel a biztosító számol, hogy azt minimálisan el fogja érni.
Várható élettartam (e_x): az x éves egyének még várhatóan ennyi évet élnek.
Legfontosabb közülük az x = 0 eset, amit születéskor várható élettartamnak hívnak.

Ezt nemzetközi összehasonlításban is fontos vizsgálni (az EU ötödik összehasonlító adata), de sokatmondó lehet egy országra nézve az idősora is.

Születéskor várható átlagos élettartam alakulása Magyarországon

Év	férfiak	nők
1985	65,09	73,07
1986	65,3	73,21
1987	65,67	73,74
1988	66,16	74,03
1989	65,44	73,79
1990	65,13	73,71
1991	65,02	73,83
1992	64,55	73,73
1993	64,53	73,81
1994	64,84	74,23
1995	65,25	74,5
1996	66,06	74,7
1997	66,35	75,08
1998	66,14	75,18
1999	66,32	75,13

Grafikusan ez a következőt jelenti:

Nemzetközi összehasonlításban sem állunk e téren túl jól.

SZÜLETÉSKOR VÁRHATÓ ÉLETTARTAMOK EGYES ORSZÁGOKBAN

Ország	Férfiak	Nők
India	62,5	71,5
Törökország	65	69,6
Románia	66,1	73,7
MAGYARORSZÁG	66,3	75,1
Bulgária	67,1	74,9
Kína	68,6	71,5
Lengyelország	68,8	77,5
Szlovákia	69	77
Csehország	71,4	78,1
Dánia	73,8	79,3
Finnország	73,8	81
Ausztria	74,3	80,8
Nagy-Britannia	74,7	80,2
Franciaország	74,8	82,7
Hollandia	75,3	81,2
Görögország	75,9	81,2
Japán	77	83,4
Ausztrália	77,2	83,2
Svájc	79	82,1

Ez egy 40 országot tartalmazó lista részlete, ahol Magyarország a férfiak között a 6. legrosszabb eredményt, a nők közt a 9.-et érte el. A teljes lista három legjobbja valóban Svájc, Japán és Ausztrália.

Azt gondolom, az alacsony várható élettartam és a szülések csökkenő számát tekintve nem is lehet váratlan a népesség számának alakulása.

Most térjünk rá az életbiztosítási alapbiztosítások áttekintésére.

Kockázati életbiztosításnak hívjuk azt a biztosítást, amelyben a szerződésben megjelölt személy megkapja a biztosítási összeget (amelyre a szerződés szólt), ha a biztosítási tartam alatt a biztosított meghal, de kifizetés nélkül szűnik meg, ha a biztosított megéri a tartam végét.

Elérési életbiztosítás olyan biztosítás, amelynél a biztosított (vagy akit megjelöl) megkapja a biztosítási tartam végén a biztosítási összeget, amelyre a szerződés szólt, ha él, de kifizetés nélkül szűnik meg, ha a tartam alatt a biztosított meghal.
A vegyes életbiztosítás ugyan nem alaptípus, hiszen egy kockázati és egy elérési biztosítás együttese, de ez az egyik leggyakoribb biztosítástípus. Tehát ha a biztosított a tartam alatt meghal, akkor a haláleset után (most a számítás egyszerűsítése céljából az év végén), ha nem, akkor a tartam végén fizeti ki a biztosítási összeget.

Járadékbiztosítás olyan biztosítás, amely a megkötésekor befizetett összeg függvényében meghatározott ideig (akár élethosszig) éves (vagy havi) előre meghatározott összegű kifizetést teljesít, ha a biztosított még él. (Felfogható tehát elérési biztosítások sorozataként.)

A díjszámítás alapja az ekvivalencia elv, ami azt mondja ki, hogy
A bevételek várható értékének jelenértéke = a kiadások várható értékének jelenértékével.

A díjkalkulációt általában érdemes 1 egységnyi összegre végezni, hiszen S  egységnyi összegre az 1 egységnyire fizetendő díj S-szerese jön ki.

Jelölések, alapösszefüggések:

A:   a biztosítás egyszeri díja
n:  a biztosítás tartama
v:  diszkonttényező (=1/(1+i) , ahol  i  a technikai kamat)

Megélési és halálozási valószínűségek:

p_x,1 =  l_x+1 / l_x       és         q_x,1 = d_x / l_x = ( l_x – l_x+1 ) / l_x
p_x,n =  l_x+n / l_x       és         q_x,n = ( l_x – l_x+n  ) / l_x

Egyszerűsítő feltevések:
- Egyszeri díjas biztosítás ⇒ teljes díj a tartam elején a biztosítóhoz befolyik
- Mindenki január 1-jén született
- Minden kifizetés az év végén történik (= mindenki december 31-én halt meg)

Ha az x éves egyén n évre köt biztosítást, akkor az ekvivalencia-egyenlet szerint a díj:

Whole life biztosítás: a biztosítási összeget az ügyfél halálakor kell kifizetni (azaz élethosszig szóló biztosítás).

Ha az x éves egyén n évre köt biztosítást, akkor az elérési biztosítás ekvivalencia-egyenlete:

A vegyes életbiztosítás díja = az elérési díj + a kockázati díj

 A technikai kamat jelentőségére az alábbi táblázattal kívánok rámutatni.

(30 éves belépési kor, 10 éves tartam, 1000 000 Ft biztosítási összeg)

Látható, milyen erős díjcsökkentő tényező, ezért a teljesíthetetlen ígéretek megelőzése érdekében maximális mértékét a pénzügyminiszter határozza meg, ill. módosítja.

Jelölje  a_x az azonnal induló, éves kifizetésű, az év elején fizető életjáradék-biztosítás egyszeri díját, amely évi  1 Ft járadékot fizet a biztosított haláláig.
(a biztosított belépési kora x )

Ekkor az ekvivalencia-egyenlet:

Például ha egy 60 éves férfi évi 10 000 Ft-ot szeretne kapni haláláig, akkor 3,5%-os technikai kamat mellett, ennek a nettó díja 113 380 Ft. Ha azonban egy férfi 30 éves korában köti azt a járadékbiztosítást, amely csak 60 éves korától fizeti a 10 000 Ft-ot az előző feltétellel, akkor csak 31 345 Ft-ot kell befizetnie.

- Az évenkénti díjfizetés felfogható úgy, mintha az ügyfelek járadékot fizetnének a biztosítónak a díjfizetés tartama alatt.
- Ezért a rendszeres díjfizetés mellett fizetendő díjat egy tetszőleges biztosításnál úgy kapjuk az egyszeri díjból, hogy elosztjuk a járadéktényezővel, amelyet abból számolhatunk ki, hogy az egyszeri díjat hány évi díjfizetés mellett fizetjük majd ki.

Ha az eddigieket végiggondoljuk, a nyugdíj nem más, mint egy elérési biztosítás a nyugdíjkorhatárig, onnan pedig egy azonnal induló, élethosszig tartó járadékbiztosítás.

A nyugdíjrendszerek közötti egyik alapvető különbség, hogy milyen módszerrel valósítják meg, hogyan érik el, hogy a nyugdíj folyósításához szükséges pénzeszköz rendelkezésre álljon.

A nyugdíjrendszerek egy lehetséges csoportosítása a következő:

Felosztó-kirovó rendszer
Az az évi befizetések teremtik meg az az évi kifizetések fedezetét. A befizetések nagyságát úgy állapítják meg, hogy az éppen fedezze a tárgyévi kifizetéseket. Meg kell jegyezni, hogy a valóságban ez meglehetősen nehéz, hiszen csak év végére lesz pontosan ismert a tárgyévi kifizetések nagysága, ráadásul a  járulékkulcsot sem lehet évente módosítani. Így aztán az ilyen rendszerekben képződhet valamennyi tőke, kellemetlenebb esetekben hiány az adott év folyamán. A magyarországi társadalombiztosítási rendszer ilyen elven működik, és évek óta hiány képződik a rendszerben.

Terminális tőkefedezeti rendszer
A befizetés akkor történik, amikor a kifizetés elkezdődik, így a befizetés pontosan olyan mértékű, hogy egy összegben megteremti a teljes kifizetés várható fedezetét. (Pl. valaki évjáradékot vásárol egy biztosító intézettől.)

Iniciális tőkefedezeti rendszer
A rendszerbe történő belépéskor egyösszegű befizetés teremti meg a későbben (pl. nyugdíjba vonuláskor) kezdődő kifizetések várható fedezetét.

Rendszeres hozzájáruláson alapuló tőkefedezeti rendszer
A belépéstől a nyugdíjba vonulásig rendszeresen befizetett hozzájárulás teremti meg az összes későbbi várható kiadás fedezetét. ( Magán-nyugdíjpénztár)

Ez ennek a témának néhány bevezető gondolata.

Kérdéseivel, megjegyzéseivel bátran keressen meg a következő e-mail címen: <simonj@fazekas.hu>