42.          Fa esetén az egyenlőség következik abból, hogy az n pontú fa élszáma n–1, és abból, hogy a fokszámösszeg kétszerese az élszámnak. A fordított állítást teljes indukcióval bizonyítjuk. Az állítás n=1,2-re semmit mondó, feltehető, hogy n>2.

Tegyük fel, hogy n–1 számra tudjuk az állítást. Ha adott n pozitív egész szám, amelyek összege 2n–2, akkor a legkisebb nyilván egy, különben az összeg legalább 2n volna. Legyen ez d_i. Másrészt a legnagyobb nyilván nagyobb egynél, különben az n szám mindegyike egy volna, így az összegük n<2n–2 volna. Legyen a legnagyobb d_j. Hagyjuk el az n szám közül d_i-t és csökkentsük eggyel d_j-t. Ekkor n–1 számot kapunk, amelyek mindegyike továbbra is pozitív és összegük 2n–4 = 2(n–1)–2, tehát alkalmazható az indukciós feltevés: van olyan fa, amelynek fokszámai rendre ezek a számok. Legyen x_j az a pont, amelynek fokszáma d_j–1. Illesszünk a gráfhoz egy x_jy élt, amely tehát ezt a pontot egy új ponttal köti össze. A gráf nyilván továbbra is fa marad, hiszen összefüggő marad és nem keletkezik benne kör. Másrészt minden pont fokszáma változatlan marad, csak x_j fokszáma lesz eggyel nagyobb, azaz éppen d_j, keletkezik továbbá egy elsőfokú pont, vagyis d_i-fokú pont. Ezzel az indukciós lépést befejeztük.