A FEUERBACH-TÉTEL ELEMI BIZONYíTÁSA

(Wolfgang Kroll)

1. BEVEZETÉS

Karl Wilhelm Feuerbach (1800-1834) 22 éves korában rájött egy tételre, amely - ahogy azt H. Eves megjegyezte - "a modern háromszög-geometria legszebb tétele, melyet több mértantudós is felfedezett". Ez azt mondja ki, hogy egy háromszög kilencpontos köre a háromszög beírt körét és a három hozzáírt kört is érinti. (1. ábra). Elég meglepőnek tunik ez a kapcsolat a háromszög hat nevezetes köre közül öt között, és igen meglepő a Feuerbach-tételre talált bizonyítások száma is. Ezek közül még az elemi bizonyítások is igényelnek némi tudást, olyannyira, hogy ma középiskolában normális esetben nem kerülhetnek elő. Ezenkívül sok bizonyításnak az a hátránya, hogy külön csak a tételért készültek, s így nem adnak mélyebb betekintést az összefüggésekbe. Ezen bizonyításokban hiányoznak azok az összekötő lépések is, melyek kellő egyszerűséggel szemléltetnék az összefüggéseket, de ugyanakkor a gondolatmenet irányát is pontosan mutatják.

A következőkben ismertetett bizonyítás egy olyan "összekötő lépés" felfedezésén alapul, mely szerint három egyszerű módon minden háromszöghöz hozzárendelhetők olyan körök, melyek a beírt körrel és a kilencpontos körrel együtt egy pontban metszik egymást.*¹ A bizonyítás egészen kevés lépésből áll, ezek követése érdekében elég csak ismerni a háromszög szögeiről szóló legegyszerűbb tételeket. Ugyanezen ismeretek szükségesek a bizonyítás második feléhez is, melyben megmutatjuk, hogy a beírt kör és kilencpontos kör még érintik is egymást ebben a pontban

1.ábra

*¹ Minden érintő körhöz tartozik egy hasonlóan definiálandó körhármas a megfelelő tulajdonságokkal, de ebbe most nem megyünk bele részletesebben.

2. A MAGASSÁGVONALAK TALPPONTJAINAK KÖRE

A beírt kör három érintési pontja alkotja a DEF háromszöget, mely "önmaga mellett" meghatározza az AEF, BDF és CED háromszögeket. Ugyanígy a magasságvonalak H₁, H₂, H₃ talppontjai is meghatározzák az AH₃H₂, BH₁BH₃, CH₂H₁ ("társ-vagy mellék") háromszögeket. Ezen háromszögek most következő vizsgálatakor megállapítjuk hogy az utóbbi háromszögek beírt körének középpontja az előbbiek magasságpontja.*²

Ha bizonyítani akarjuk ezt a tényt, akkor automatikusan a körökre kell gondolnunk, melyek a következőkben főszerepet fognak játszani. De ezen motiváció nélkül közvetlenül is eljuthatunk a megoldáshoz, ha elsősorban a beírt kör I középpontját a háromszög csúcsival összekötő szakaszok köré írt köröket szemléljük (2. ábra). A lerajzolt esetben szemmel látható, hogy a beírt kör D és E érintési pontja, ezenkívül az I pontból a CH₃ magasságvonalra bocsátott merőleges talppontja is rajta van az IC szakasz köré írt körön. Toljuk el ezt a kört a CH₃ magasságvonallal párhuzamosan úgy hogy I pont egybeessen F ponttal, az M_C középpont az M₃ pontba kerüljön, a kör átmenjen a H₃ magasságvonal-talpponton, az E és a D pont I₁ ill. I₂ pontba kerüljön, melyek a kör r sugarának távolságával fekszenek AB oldalra merőlegesen a D és az E pontok alatt. Az így eltolt K₃ kört az AB oldalhoz tartozó magasságvonal-talppont körnek nevezzük Ennek megfelelően meghatározhatjuk a K₁ és K₂ magasságvonal-talppont köröket is. A K beírt kör és a K_F kilencpontos kör is biztosan "magasságvonal-talppont kör", mely elnevezésben egy olyan kifejezéshez vezető összefüggés áll, melyet a következőkben nem csak felületesen fogunk igazolni.

2.ábra

*² Ebben a magasságvonalak talppontjai által meghatározott háromszög tulajdonságaira láthatunk egy sajátos analógiát, mely szerint a magasságvonalak felezik a magasságvonalak által meghatározott háromszög szögeit.

3. A BEíRT KÖRHÖZ RENDELT HATSZÖG

Most van nagy jelentősége, hogy a fent bevezetett I₁, I₂ pontokat az eltolástól függetlenül is meghatározhatjuk. Mivel EI₁=IF és EI₁ párhuzamos IF-el, ugyanis az IEI₁F négyszög rombusz (3. ábra), ezért II₁ merőleges EF-re és EF felezi II₁ szakaszt. Ennélfogva az I₁ pont az I pont EF szakaszra tükrözött tükörképe, és természetesen rajta van az AI szögfelezőn is, és ez ugyancsak merőleges az EF szakaszra. Az I₁, I₂, és I₃ pontokat ilyen módon határozhatjuk meg. Ezután jönnek a K_1, K₂ és K₃ magasságvonal-talppont körök, melyek azon oldalhoz tartozó magasság talppontján mennek keresztül, amellyel "szemben" vannak.

3.ábra

Az I₁FI₂DI₃E hatszög egyenlő szárú és középpontosan szimmetrikus. A következőkben különösen a szögeire lesz szükségünk, melyeket máris megadunk. Látható, hogy AIE∠ = 90° - α/2, tehát

(1) FEI = FEI₁ = EFI = EFI₁ = DI₃I₂ = α/2.

Ennek megfelőlen folytatva:

(2) FDI = FDI₂ = DFI = DFI₂ = EI₃I₁ = β/2,

(3) DEI = DEI₃ = EDI = EDI₃ = FI₁I₂ = γ/2.

4. A METSZÉSPONTTÉTEL

Rajzoljunk egy hegyesszögű háromszögbe*³ K₁, K₂, K₃, K és K_F köröket megfelelő pontossággal, s így meglepően azt fogjuk tapasztalni, hogy az összes kör egy S pontban metszi egymást. Ezt a kerületi és középponti szögek tételének segítségével könnyen bizonyíthatjuk. Mindenekelőtt meghatározzuk az S pontot mint pl. a K₁ és a K₃ kör metszéspontját. (4. ábra). A kerületi szögek tételét a K₁ és a K₃ alkalmazva azt kapjuk hogy

(4) DSI₂ = DI₃I₂ = α/2,

(5) FSI₂ = FI₁I₂ = γ/2,

Az (1) és a (3) összegzése után következik:

(6) DSF = α/2 + γ/2 = FED

A DF húr körüli K beírt kör és a DSF szög kapcsolatából valamint abból, hogy az E és az S pontok a húr ugyanazon oldalán vannak, az következik hogy az S pont is a beírt kör egy pontja.

4.ábra

Annak bizonyítása hogy az S pont a K_F kör eleme is, teljesen hasonló. Ehhez arra az ismert tényre támaszkodunk, hogy a magasságvonalak talppontjai által meghatározott H₁H₂H₃ háromszögben a szögekre a következő összefüggés teljesül:

H₁H₂B = 90°- β = H₃H₂B *⁴

Ebből következik hogy (4. ábra):

(7) H₁SI₂ = H₁DI₂ = BCH₃ = 90°- β = H₁H₂B

(8) H₃SI₂ = H₃FI₂ = BAH₁ = 90°- β = H₃H₂B

Ehhez felhasználjuk még azt a tényt hogy DI₂ párhuzamos CH₃-mal ill. FI₂ párhuzamos AH₁-gyel. Ebből az összegzés után megkapjuk hogy

(9) H₁SH₃ = H₁H₂H₃

A kerületi szögek tételéből adódóan ez azt jelenti, hogy H₁H₃ húr a K_F kilencpontos kör húrja, s így az S pont is a H₂ ponttal együtt a K_F körön van.

Már csak azt kell bebizonyítani, hogy S rajta van K₂-n, bár erre a tényre a következőkben nincs szükségünk. Az előzőekből egyébként érthető, hogy minden következtetés érvényben marad, ha a pontokat és a köröket szabályosan kicseréljük. Következésképpen mind az öt kör az S pontban metszi egymást.

*³ Az állítás egyenlő szárú háromszögre is igaz, de akkor túl triviális.

*⁴ H₁ és H₂ pontok az AB szakasz Thalész-körén vannak, tehát a kerületi szögek tétele alapján H₁H₂B = H₁AB = 90°- b. Hasonlóan bizonyíthatjuk a második állítást is.

5. AZ ÉRINTŐ TULAJDONSÁG LEVEZETÉSE

A bizonyítást két meghatározott szög egyenlősége alapján vezetjük le és arra az egyszerű tényre támaszkodunk, hogy az 5. ábrán látható két kör két metszéspontjából húzott két-két sugár páronként két egyenlő nagyságú szöget képez. Mi most először csak a K beírt kört és a K₃ magasságvonal-talppont kört szemléljük (6a.ábra). Ezek definíciója szerint IF, M_CM₃ és CH₃ párhuzamos egymással, következésképpen:

(10) M₃FI = M₃M_CI = H₃CI = BCI - H₃CB = γ/2 - (90°- β) = 90° - α/2 - β/2 - (90°- β) = (β -α)/2.

5.ábra

Az 5. ábrán látható két kör szimmetriájának alapján megkapjuk az első szöget:

(11) d = M₃SI = <(β -α)/2.

Hasonlóan járunk el a második szög bizonyításakor is. Ennél most a K kört kicseréljük a K_F kilencpontos körre (6b.ábra). Ez átmegy a C' és a H₃ pontokon, M középpontja a CH₃ szaksz felezőmerőlegesén fekszik, és mivel C'H'₃ párhuzamos CH₃ szakasszal, ezért először is az következik, hogy

(12) MH₃C = MC'H'₃ = A'C'H'₃ ACM

6.b ábra

Ha a C'B'A' szög = β, akkor a középponti szögek tétele alapján C'MA' = 2β. Az ACM egyenlő szárú háromszög alapszöge A'C'M = 90°- β. Azzal együtt, hogy A'C'H'₃ = 90° - α, ebből az következik, hogy

(13) MH₃C = 90°-α - (90°- β) = β - α

6.a ábra

Végül a 6a. ábrából láthatóan felírhatjuk azt az összefüggést, hogy IFM₃ = M₃H₃C = d, ahol M₃ az FH₃ szakasz felezőmerőlegesén fekszik, s így megkapjuk az eredményt a második szögre a (11) összefüggésel:

(14) e = M₃SM = M₃H₃M = MH₃C ' M₃H₃C = (β - α) - (β - α)/2 = (β - α)/2 = d.

Az M₃SI szög és az M₃SM szög megegyeznek és az M₃S szakasz ugyanazon oldalán fekszenek, így az S, I és M pontok egy egyenesbe esnek. Ez azt jelenti, hogy a K beírt kör és a K_F kilencpontos kör az S pontban érintik egymást.

6. BEFEJEZŐ MEGJEGYZÉSEK

A konfiguráció pontosabb vizsgálatakor további összefüggésekre akadhatunk. Ezekben még azok a pontok is szerepelnek, melyekben a kilencpontos kör a magasságpontokat metszi, mégpedig a H magasságpont által meghatározott magasságvonal-darabok - AH, BH, CH - felezőpontjaiban. Hasonló módszerekkel, mint eddig, megmutathatjuk hogy ezek a metszéspontok rajta vannak az SI₁, SI₂, SI₃ egyeneseken. Ezek az egyenesek a DEF háromszög megfelelő oldalait további három pontban metszik, melyek ugyancsak rajta vannak egy egészen más egyenesen, mely még nem játszik kiemelkedő szerepet a háromszög-geometriában. Ez név szerint az ABC háromszög beírt és körülírt körének középpontjait összekötő UI szakasz egyenese. Az SI₁, SI₂ és SI₃ szakaszokról valóban kiderült hogy az UI szakasznak a DEF háromszög oldalaira tükrözött tükörképei, tehát ezen tulajdonság segítségével az S pont közvetlenül megszerkeszthető.

Még sok további összefüggést is felfedezhetünk, ha az ábrákat a megfelelő módon általánosítjuk, de ez jelen írás keretibe már nem fér bele. Mindenesetre a K₁, K₂, K₃ magasságvonal-talppont körök a probléma kulcsának bizonyulnak.

Fordította: Szöllősi Annamária és Fésűs Szilvia

Ábrák: Andorka György