4. Királylány-probléma

4.1. feladat:

Három herceg, A, B és C egyaránt szerelmes Bergengócia királylányába. Elhatározzák, hogy egyetlen pisztolypárbajban eldöntik, melyikük legyen a kérő. Egyszerre körbeállnak és bármelyikük lőhet bármelyikükre. Tudják egymásról, hogy ha lő, A 1, B 0,8 és C 0,5 valószínűséggel talál, ezért abban állapodnak meg, hogy először lő C, utána (ha életben van) B, végül A. Ha nincs vége a párbajnak, akkor még egy kört lőnek azonos sorrendben.
Mikor a királylány meghallotta a feltételeket, a párbaj előtti este titokban kicserélte C első golyóját vaktöltényre.
a) Kibe szerelmes a királylány?
b) Hogyan változnak meg a párbaj valószínűségei, ha most a felek nemcsak kettő, hanem tetszőleges számú lövést adhatnak le?
(A királylány most is csak az első golyót cseréli ki vaktöltényre.)

Megoldás:

1. eset: Nézzük azt az esetet, amikor megtörtént a csere, tehát C első golyója vaktöltény. Az első lövésből C nem talál, B következik. Ő nyilván A-ra lő (mert ha C-re lőne, és őt véletlenül eltalálná, akkor A következik; A lelövi B-t és nyert). Ha B eltalálja A-t, akkor a játék "kétszemélyes" lesz B és C között; míg ha B nem találja el A-t, akkor A következik lövésre. Ő a két lehetséges ellenfele közül nyilván a veszélyesebb B-re lő, akit el is talál, így ismét "kétszemélyes játékot" kaptunk A és C között. A teljes játék folyamatábrája:

Mekkora valószínűséggel győznek az egyes párbajozók?

P(A nyer),    (és B élve marad további    eséllyel, ez a  B-C döntetlen párbaj eredménye),    (és C élve marad további    eséllyel, a döntetlen miatt).

2. eset: Vizsgáljuk most meg azt a helyzetet, amikor C első lövése nem vaktöltény!
Első lövésével C nyilván A-ra lő; ha nem találja el, előáll az első eset, míg ha talál, akkor B és C között egy kétszemélyes párbajt kapunk (amely meglehetősen előnyös B-nek, hiszen ő lő először, nagyobb valószínűséggel talál, és két lövési lehetősége van, míg C-nek csak egy). A folyamatábra:


P(A nyer),  , ,  valamint B és C egyaránt élve marad a döntetlen lehetősége miatt    eséllyel.

Az egyes játékosok
(a = 1, b = 0,8, c = 0,5)

A győzelmi valószínűségek vaktölténnyel

A győzelmi valószínűségek éles tölténnyel

 

 

 

A

10 %

5 %

B

32 %

60 %

C

50 %

30 %

döntetlen B és C között

8 %

5 %

Nos, kedves Olvasó, kibe szerelmes a királylány? Bármily meglepő, lehet, hogy C-be, hiszen győzelmi esélye 20%-kal megnőtt. De az is elképzelhető, hogy A-ba, hiszen neki a beavatkozás után kétszeresre nőtt a győzelmi esélye.

Megjegyzések:

1. Az általános eset folyamatábrája a, b, c valószínűségekkel, ha C első golyója vaktöltény:


Ennek alapján ha C első golyója vaktöltény, a nyerési esélyek az alábbiak:
A nyer: a1 = (1 – b)(1 – c); 
B nyer: b1 = b2(1 – c); 
C nyer: c1 = c; 
D (döntetlen): d1 = b(1 – b)(1 – c).

Hogyan néz ki a folyamatábra akkor, ha az első golyó nem vaktöltény?

A folyamatábra:

Ha C első lövésével A-t veszi célba, és golyója nem vaktöltény, akkor az alábbi gyözelmi valószínűségeket kapjuk:
A nyer:  (1 – c)a1;
B nyer:  (1 – c)b1 + bc + bc(1 – b)(1 – c);
C nyer:  (1 – c)c1 + c2(1 – b);
D:  (1 – c)d1 + c(1 – c)(1 – b)2.

Nézzük meg, hogyan változnak a valószínűségek b és c csökkentésével:

Az egyes játékosok
(a = 1, b = 0,5, c = 0,3)

A győzelmi valószínűségek vaktölténnyel

A győzelmi valószínűségek éles tölténnyel

 

 

 

A

35 %

24,5 %

B

17,5 %

32,5 %

C

30 %

25,5 %

döntetlen B és C között

17,5 %

17,5 %

Az egyes játékosok
(a = 1, b = 0,8, c = 0,3)

A győzelmi valószínűségek vaktölténnyel

A győzelmi valószínűségek éles tölténnyel

 

 

 

A

14 %

9,8 %

B

44,8 %

58,7 %

C

30 %

22,8 %

döntetlen B és C között

11,2 %

8,7 %

2. A megoldás folyamán feltételeztük, hogy a királylány használni tudja a matematikai folyamatábrákat. Ha C is elég jó matematikus, akkor az egész csere-tranzakció felesleges, mert C első lövésével úgyis a levegőbe lő.

Előző fejezet    Következő fejezet    Tartalom