8. Választási rendszerek paradoxonai
Ezekben a feladatokban a választási rendszerek egyes típusait vizsgáljuk meg. A kérdés mindig az, hogy mennyire „igazságos” egy-egy rendszer. Ha valamilyen furcsaságra bukkanunk, értelemszerűen kihangsúlyozzuk.
Az egyszerűség kedvéért az alapfeladatokban megelégszünk 10 választóval; ekkor könnyen megkonstruálhatók az egyes esetek.
Az első fajta választási rendszerben (8.1. - 8.6. feladatok)
egy klub elnökválasztó gyűlésén a 10 tag három jelöltre (A, B, C) szavaz. A választási rendszer szerint mindenki felírja a neki szimpatikus sorrendben a három nevet. A sorrendben első jelölt kap 3 pontot, a második 2 pontot, a harmadik 1 pontot. Ezután a 10 szavazó által kapott pontokat összesítik, a legtöbb pontot szerzett jelölt lesz az elnök.
8.1. feladat:
Lehetséges-e, hogy a választók közül senki sem szavaz első helyen A-ra, mégis A lesz a nyertes?Eredmény:
Nem lehet.8.2. feladat:
Vizsgáljuk meg ugyanezt a kérdést, ha kivételesen megengedjük, hogy A, B, C is szavazzon (esetleg saját magát téve az első helyre)!Megoldás:
Lehetséges ilyen eredmény. Legyen 5 - 5 darab (B, A, C) és (C, A, B) szavazat, s minden jelölt szavazzon saját magára, pl.: A: (A, B, C), B: (B, A, C), C: (C, A, B). Ekkor A-nak 27, B-nek 26, C-nek 25 pontja van.8.3. feladat:
Lehetséges-e, hogy a 10 szavazó többsége B-t A elé helyezi, mégis A nyer?Eredmény:
Igen, lehetséges.8.4. feladat:
Lehetséges-e, hogy a szavazók többsége B-t is és C-t is A elé helyezi, mégis A nyer?Eredmény:
Nem lehet (szerencsére).8.5. feladat:
Vizsgáljuk meg ugyanezt a feladatot tetszőleges n-re is!Eredmény:
Nem lehet.8.6. feladat:
Lehetséges-e, hogy bár a szavazók többsége A-t B elé helyezi és B-t C elé helyezi, ennek ellenére a többség C-t A elé helyezi?Eredmény:
Igen, lehetséges, már n = 3 szavazó esetében is. A példával már találkoztunk a valószínűség tranzitivitása témakörnél, s ott is említettük, hogy a jelenségnek statisztikai magyarázata van.A második fajta választási rendszerben (8.7. - 8.8. feladatok)
egy klub elnökválasztó gyűlésén a 10 tag három jelöltre (A, B, C) szavaz. Mindenki felírja a neki szimpatikus sorrendben a három nevet egy papírra. A választási rendszer szerint az a jelölt nyeri meg a választást, aki többször szerepel az első helyen; holtverseny esetén a további helyezések döntenek.
8.7. feladat:
Lehetséges-e ebben a választási rendszerben, hogy bár a szavazók többsége B-t és C-t A elé helyezi, ennek ellenére A nyer?Megoldás:
Igen, lehetséges.8.8. feladat:
Az előző feladatban kapott „igazságtalanság” legkevesebb hány választó esetén állhat elő?Megoldás:
n = 7 szavazóra pl. a következő konstrukcióval: (A, B, C) szavazatokból 3 darab, (B, C, A) szavazatokból 2, és (C, B, A) szavazatokból szintén 2 darab.Mi a választási paradoxonok magyarázata?
A [7] könyvben a szerző a
következő indokokat sorolja fel:
- Nem megfelelő a szavazási
módszer.
- Nem valóságszerű a szavazatok
megoszlása.
- A választók döntései nem
azonos jelentőségűek (pl. ha az A jelöltet helyezzük az első helyre, akkor
kicsi a jelentősége annak, hogy ki a második; a „megelőző” helyzet az első
helyen a fontosabb).
Itt említi meg a szerző a Condorcet-paradoxont is (1785): Abszolút igazságos választási rendszer nem létezik.