51.          a) Tegyük fel indirekte, hogy minden y-hoz van két olyan részhalmaz, F_i és F_j, amely X–y-on nem megkülönböztethető. Ez csak úgy lehetséges, ha a két halmaz csak „y-ban különbözik”: F_i=F_j\{y} (vagy fordítva). Minden y-hoz kiválasztunk egy (és csak egy!, ennek később lesz jelentősége) ilyen F_i,F_j párt. Különböző y-hoz nyilván különböző F_i,F_j párok tartoznak. Tekintsük azt a H gráfot, amelynek pontjai az F_i halmazok és élei az ilyen F_iF_j párok. Írjuk is rá minden élre, hogy az X halmaz melyik y eleme „miatt” választottuk ki ezt az élt.

Az így kapott H gráfnak n pontja és n éle van: minden y elemhez pontosan egy él tartozik és különböző y-okhoz különböző élek tartoznak. A H gráfban tehát van egy E₁E₂…E_kE₁ kör. Ez a kör olyan, hogy bármely két szomszédos ponthoz tartozó halmaz csak egy elemben különbözik: éppen abban az elemben, amit az élre „írtunk”. Tekintsük azt az y elemet, amelyben E₁ és E₂ különbözik. Feltehető (a csúcsok esetleges átszámozása után), hogy E₁=E₂\{y}. Ekkor y nem eleme E₃-nak, mert csak úgy lehetne eleme, ha E₂ és E₃ éppen y-ban különbözne, ami (itt használjuk ki, hogy minden y-hoz csak egy halmazpárt választottunk) lehetetlen. Ugyanígy lehetetlen az is, hogy valamelyik további E_i-nek eleme legyen y. Ha ugyanis E_i-nek eleme volna, de E_i–1-nek nem, akkor E_i és E_i–1 éppen y-ban különbözne, de (ismét használjuk, hogy minden y-hoz csak egy halmazpárt választottunk) ez lehetetlen. Így viszont oda jutunk, hogy E₂, E₃,…, E_n, E₁ sem tartalmazza y-t, ami viszont E₁ esetében ellentmondás. Ezzel bebizonyítottuk az állítást.

A b) rész pontosan ugyanígy bizonyítható, most az egyes sorok a gráf pontjai és két sort jelölő pont akkor van összekötve, ha pontosan egy elemben különböznek. Ha minden oszlophoz volna két sor, amelyek csak ebben az oszlopban álló helyen különböznek, akkor a gráfunkban volna kör, s arra megint elmondható volna az előző rész bizonyítása.