7. óra Prímszám, összetett szám

Bevezető feladat

Bontsd szorzattá úgy, hogy a lehető legtöbb tényezőt használd!

Megjegyzés:

Ellenőrzéskor licitálunk: ki hány tényezőt talált? Meghallgatunk olyat is, aki nem találta meg a „legjobb” felbontást, mert a hibákból, hiányokból is tanulunk.
12 = 2·2·3; 18 = 2·3·3; 24 = 2·2·2·3; 35 =  5·7; 60 = 2·2·3·5; 128 = 2·2·2·2·2·2·2
Megbeszélés közben a gyerekek ilyeneket mondanak: Azért nem tudom több tényezőre bontani, mert a 2, 3, 5, 7  számok egyike sem osztható más számmal – és itt az adódó alkalom a valódi és nem valódi osztó fogalmának elkülönítésére, valamint a prím- (törzs-) szám és az összetett szám fogalmának bevezetésére.

ÉPÍTKEZÉS PRÍMTÉGLÁKBÓL

Látjuk, hogy ha a számokat szorzatalakjaikban képzeljük el, a prímek afféle építőkövek szerepében lépnek fel, ezzel a tulajdonságukkal fogunk játszani. A játék lényege: „számházakat” építünk, „prímtéglákból”, kötőanyag a szorzás.
Táblai téglakészletünk 2-től kb. 19-ig 8-10 darab prímkártyából áll, ezek kb. kártyanaptár méretűek, és mágnessel, vagy gyurmaragasztóval (pl.:blu-tack) rögzíthetők, hasonló készlete van minden gyereknek egy-egy borítékban a füzetbe csatolva, vagy a teremben tárolva, az ő készletük persze kisebb kártyákból áll: elég 2x3 cm-es méret. Fontos, hogy legalább rajzlap vastagságúak legyenek a gyerekkártyák, mert a puha fecniket körülményes kezelni.
A táblai készletet a tanári asztalon szétrakjuk, eleinte a tanár a „téglaárus”, később már a gyerekek egyike. Kezdődhet az építkezés!

F1.:

Építsd fel a következő számokat: 45, 125, 315, 150!
45 = 3·3·5; 125 = 5·5·5; 315 = 3·3·5·7; 150 = 2·3·5·5

Megjegyzés:

Nem prímtényezős felbontást tanítunk itt!!! Nem bontunk, hanem építünk. Összeválogatjuk azokat az építőelemeket, melyekből összeáll a „számház”.

F2.:

Mely számok épülnek fel a 45 köveiből? (Rakd ki a 45 tégláit, és ezekből építs számokat!)
3, 5, 3·3=9, 3·5=15, 3·3·5 = 45.  Ezek a 45 osztói.

F3.:

Rakd ki a 315-öt.     (3, 3, 5, 7)

Osztója-e a 315-nek?

Hányszor van meg benne?

3

i     3·5·7-szer

3·5

i     3·7-szer

7·3·3

i     5-ször

3·2

n  2-es tégla nincs a 315-ben

5·7·2

n  2-es tégla nincs a 315-ben

Megjegyzés:

Ismét az osztó fogalmát mozgósítjuk!
Egy szám összes osztójának gyűjtésével és ezek megszámlálásával foglalkozunk. Alsó tagozatban is végeztek már hasonlót tanítványaink, akkor osztópárokat gyűjtve.
Most építsük meg a számokat, és prímtéglás alakjukról olvassuk le összes osztójukat, majd állítsuk ezeket osztópárokba. Fontos, hogy megfigyeljék és megfogalmazzák diákjaink, hogy az összetartozó osztókat úgy is előállíthatjuk, hogy az eredeti szám prímtégláit két kupacba rakjuk, egyik kupacból épül az egyik osztó, a másik kupacból épül a párja. Így a párt alkotó osztók prímtényezőinek együttes száma megegyezik az eredeti szám prímtényezőinek számával.
Itt állapítjuk meg (nem a tanár! – vegye észre a gyerek, de addig ne menjünk tovább, míg ez meg nem történt!), hogy a négyzetszámoknak páratlan sok osztója van, a többi számnak páros sok.
Ha egy szám négyzetszám, akkor a legnagyobb valódi osztója a négyzetgyöke. Kényelmes itt vezetni be a négyzetgyök fogalmát, de ha idegenkedünk tőle, ne nevezzük meg, csak írjuk körül.

F4.:

ÉPÍTSÜK FEL PRÍMTÉGLÁIBÓL A 225 ÉS A 132 OSZTÓIT!
225 = 32·52 = 3·3·5·5

0 prím: 1

4 prím: 3·3·5·5

1 prím: 3
           5

3 prím: 3·5·5
           3·3·5

 2 prím: 3·3
            3·5

2 prím: 5·5
            3·5

A 225 négyzetszám, osztói között a 3·5-nek a párja önmaga, ezért osztóinak felsorolásakor ez csak egyszer szerepel, a 225-nek tehát 9 osztója van.

132 = 22 · 3 · 11 = 2·2·3·11

0 prím: 1

4 prím: 2·2·3·11

1 prím: 2
            3
           11

3 prím: 2·3·11
             2·2·11
             2·2·3

2 prím: 2·2
            2·3

2 prím: 3·11
            2·11

A 132-nek 12 osztója van.

F5.:

 (Tk.84/2)

Milyen számokat dobnak ki a gépek, ha az első gép a bedobott számok osztóit dobja ki, a második pedig a számok osztóinak számát?

A szám

12

8

6

10

28

15

32

7

49

13

A szám osztói

1, 2, 3,
4, 6, 12

1, 2,
4, 8

1, 2,
3, 6

1, 2,
5, 10

1, 2, 4
7, 14
28

1, 3,
5, 15

1, 2, 4,
8, 16, 32

1, 7

1, 7, 49

1, 13

----Az osztók száma

6

4

4

4

6

4

6

2

3

2

F6.:

Egy szám osztói ezek: 2, 3, 4, 6. Építs ilyen számot legalább három különbözőt. Hányat lehetne építeni? (Végtelen sokat.) Van legkisebb?

Megjegyzés:

Ha elég szemfülesek tanítványaink akkor itt visszakérdezhetnek – Milyen alaphalmazon? Ha nem ezt teszik, akkor többféle „jó” válasz is lehetséges:
Az egész számok körében nincs.
A természetes számok körében a 0.
A pozitív egészek körében a 2·2·3 = 12.

Módszer(ek) egy szám prímtényezőinek előállítására

F7.:

Építsd fel a 450-et.
Ha esetleg ez nagyon könnyen megy, adjunk nagyobb , több prímtényezős számot! Célunk, hogy „nyögjenek, nyafogjanak” tanítványaink, vagy segítve magukon MÓDSZERt keressenek. Ha már megvan az igény módszer keresésére, akkor mutassuk meg, hogyan szokásos.