6. óra

Előkészítő feladat:

Megjegyzés:

Az óra második felében szándékunk a címbeli oszthatósági szabályok mélyére látni. Ehhez nagy szükségünk van a szorzás – összeadás disztributiv tulajdonságának mindkét irányú alkalmazására – amiről így név szerint persze nincs tudomása tanítványainknak, alkalmazniuk azonban már kell tudni.

Erre hív fel ez a feladat:

(Tk.75/13)

(Én cetlisnek szoktam adni, ez fokozza a figyelmet)

Feladat

Számítsd ki fejben
a) a 7 tizenháromszorosának és tizenhétszeresének az összegét,
b) az 5 tizenhatszorosának és ötszörösének a különbségét
c) a 18 hétszeresének és 9 négyszeresének a különbségét!

a) 7·13 + 7·17 = 7·30 = 210
b) 5·16 – 5·5 = 5·11 = 55
c) 18·7 – 9·4 = 9·14 – 9·4 = 9·10 = 90

Bevezető feladat:

(fgy. 207)

F₁.:

„Ebbe a gépbe csak természetes számokat lehet bedobni. A gép három rekeszbe válogatja szét a számokat: a bedobott számot elosztja 3-mal, megállapítja mennyi a maradék. Ha a maradék 0, a 0-jelzésű rekeszbe továbbítja a számot,ha a maradék 1, akkor az 1-jelzésű rekeszbe, ha a maradék 2, akkor a 2-jelzésűbe. Hová kerülnek ezek a számok? Írd be mindegyiket a megfelelő rekeszbe!

1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 17, 30, 40, 50, 60, 70, 80, 90, 100, 200, 300, 400, 500, 600, 700, 800, 900, 320, 410, 690, 531, 742, 999.

0

12, 15 ,3, 6, 9, 30, 60, 90, 300, 600, 900

1

13, 16, 1, 4, 7, 10, 40, 70, 100, 400, 700, 742

2

14, 17, 2, 5, 8, 50, 80, 200, 500, 800, 320, 410

Megjegyzés:

A gyerekek gyakran hozzák alsó tagozatból az itt tárgyalt oszthatóságot, azt azonban ritkán tudják, hogy a jegyek összegének 3-as maradéka akkor is megegyezik a szám 3-as maradékával, ha nem 0. Ezért ebben a feladatban ritkán ismernek rá azonnal, hogy mi a felfedeznivaló, bátran kérdezhetjük tehát:

Van-e valakinek valamilyen észrevétele?

Azt várjuk, hogy MINDEN REKESZBEN az ott szereplő számok jegyeinek összege is ugyanabba a rekeszbe tartozik. Ebben az erős formában ritkán veszik észre a gyerekek, ezért némi találgatás után kitűzzük: (esetleg egy-egy padsor csak egy rekeszt)

F₂.:

A rekeszbe írt számok mindegyikéhez számítsuk ki jegyeinek összegét és írjuk be a megfelelő rekeszbe zölddel, ha benn marad a saját rekeszében, pirossal, ha átkerül egy másikba.

Íme máris megfogalmazzák tanítványaink SEJTÉSüket, miszerint egy szám és a számjegyeinek összege ugyanannyit ad 3-mal osztva maradékul.

Megjegyzés:

Ragaszkodjunk hozzá, hogy ez csak SEJTÉS, néhány (mi tudjuk – véges sok) kísérlet csak sejtéshez juttathat bennünket. Vár tehát ránk a feladat: igazoljuk állításunkat!
A bizonyítás általánosan – n-jegyű számra nem időszerű, gyengébb osztályokban csak konkrét számokkal nézzük meg 3, 4 jegyre (I), ügyesebbekkel általánosabb bizonyítást is adhatunk, 3-4 jegyre betűkkel (II).

Alkalmazzuk (nem is egészen új) ismereteinket!

F₃.:

Tk. 80/2

Az alábbi számok mindegyikének letakartuk egy számjegyét. Pótoljátok a számjegyeket úgy, hogy a számok oszthatók legyenek 3-mal, illetve 9-cel!

32[]1, 457[], []3973, 412230[]

	32[]1	457[]	[]3973	412230[]
3-mal	0, 3, 6, 9,	2, 5, 8,	2, 5, 8,	0, 3, 6, 9
9-cel	3	2	5	6

F₄.:

Tk. 81/7

A 2001 szám végére írj még egy számjegyet úgy, hogy
a) a 4-es,
b) a 3-as
c) a 9-es maradéka ne változzon!

a) 3, 7
b) 0, 3, 6, 9
c) 0, 9

0	12, 15 ,3, 6, 9, 30, 60, 90, 300, 600, 900
1	13, 16, 1, 4, 7, 10, 40, 70, 100, 400, 700, 742
2	14, 17, 2, 5, 8, 50, 80, 200, 500, 800, 320, 410