8. óra

Nem rögzített helyű feladat : nem rögzített, mert akkor érdemes elsütni, amikor az oktatási helyzet kívánja. Többnyire az osztók keresgélése közben hallunk ilyen kijelentéseket: ha egy szám osztható 2-vel és 5-tel, akkor 10-zel is osztható. Akkor csapjunk le rá, amikor a gyerekektől halljuk!

DÖNTSD EL, IGAZ, VAGY HAMIS:

  Ha egy szám osztható 2-vel és 3-mal, akkor osztható 6-tal is
  Ha egy szám osztható 2-vel és 7-tel, akkor osztható 14-gyel is
  Ha egy szám osztható 5-tel és 3-mal, akkor osztható 15-tel is

Nagyjából a harmadik ilyen példamondat után vita indul (ezt akartuk!) Néhányan tudni vélik, hogy a mondat minden beleírt számpárra helyes, mások ezt vitatják, tőlük kérjünk ellenpéldát!

  Ha egy szám osztható 2-vel és 6-tal, akkor osztható 12-vel is
  hamis
A mi malmunkra hajtja a vizet, ha itt olyan ellenpéldákat kezdenek sorolni, ahol a két szám egyike osztója a másiknak. Ekkor magunk tesszük fel a kérdést, vajon szükséges-e ez? Hamarosan előkerül a leggyakoribb példa:
  Ha egy szám osztható 4-gyel és 6-tal, akkor osztható 24-gyel is
  hamis
Most kezdenek hitet tenni tanítványaink, hogy állításunk csakis prímpárokra igaz, ekkor, és csak ekkor jöjjön a „kegyelemdöfés”
IGAZ-E?
  Ha egy szám osztható 9-cel és 10-zel, akkor osztható 90-nel is

Elő a prímtéglákkal és már kezdjük látni a titok nyitját: Ha egy szám osztható 9-cel, akkor van benne két 3-as tégla, ha még 10-zel is osztható úgy további két téglát kell magáénak tudnia: egy 2-est, és egy 5-öst. Számunk tehát így épül fel:
3 ·3·2·5· (esetleg egyéb téglák) = 90 ·(egyéb) , ezért hát osztható 90-nel.
Mostanra megfogalmazzák tanítványaink, hogy az állítás akkor válik hamissá, ha a benne szereplő osztóknak van közös prímtényezője.

Itt az alkalom a relatív prímek fogalmának bevezetésére, s summázhatjuk előbbi kísérletezésünk eredményét: a
ha egy szám osztható a-val és b-vel, akkor osztható a·b-vel is
állítás pontosan akkor igaz, ha a és b relatív prímek

E tudománynak vesszük közvetlen hasznát például amikor ”összetett” oszthatósági feladatokkal birkózunk, összetett alatt azt értve, hogy két (vagy több) oszthatóságot kell egyidejűleg teljesíteni: 23[][]4 legyen osztható 36-tal.

Az óra

Bemelegítés: Az előző óra felidézése. Egy szám prímekre bontása, osztóinak felépítése. A tanár által mondott szorzatokról döntsük el osztó-e, ha igen , mi a párja stb.

F₁.:

ÉPÍTS OLYAN SZÁMOT, MELYRŐL TUDOD, HOGY

• osztója a 11:     11·2, 11·5, 11·11·3, stb
• osztója a 6:     2·3·3, 2·3·7, 2·3·2·5, stb
• osztója a 13 és a 6:     13·2·3·5, 13·2·3, 13·2·2·3·5·7, stb
• ezek valódi osztói:     /részletes megoldás/
    2, 3, 4, 6, 8, 12:     2·2·2·3 = 24, vagy 24-nek bármely többszöröse
    2, 3, 6, 9:     2·3·3 = 18, vagy 18-nak bármely többszöröse
• ezek a valódi osztói (és más valódi osztója nincs)
    2, 4, 5, 10:     2·2·5 = 20
    2, 3, 6, 7, 14, 21:     2·3·7 = 42

F₂.:

A LEGKISEBB OLYAN (POZITÍV EGÉSZ) SZÁMOT ÉPÍTSD MEG, MELYRŐL TUDOD, HOGY

1. ezek valódi osztói: 2, 3, 4, 6, 11, 12, 22, 33, 44, 66:
    2·2·3·11 = 132
2. ezek valódi osztók, de lehet, hogy néhányat elvesztettem, add meg ezeket is 2 ,3 ,5 ,6 ,7, 35, 21, 15, 30, 42, 105,:
    70, 10, 14, a szám a 2·3·5·7 = 210 /részletes megoldás/
3. 21-gyel osztható négyzetszám:
    3·7·7·3 = 441 /részletes megoldás/
4. 8-cal osztható négyzetszám, aminek az utolsó számjegye 0:
    2·2·2·2·5·5 = 400 /részletes megoldás/
5. négyzetszám, aminek a duplája is négyzetszám:
    nincs ilyen /részletes megoldás/

F₃.:

Most én építettem számot, de egy kártya helyét szabadon hagytam, neked kell pótolni a hiányzó prímet úgy, hogy legyen 3 · 5 · [] · 5
• páros
    2
• négyzetszám
    3
• páros négyzetszám
    nincs ilyen, mert csak egy prímet tehetünk hozzá, a négyzetszámsághoz kell a 3, így azonban még nem páros a szám
• 0-ra végződő szám
    2
• a kétszerese négyzetszám
    nincs ilyen, mert a 2· (3·5·5·[]) szorzatban 5 prím szerepel, ha pedig minden prímből páros sok van (mert négyzetszám), akkor összesen is páros sok prím kell legyen, hiszen páros számok összege is páros.

Előző fejezet Következő fejezet Tartalom