1. Geometriai feladatok

Ebbe a fejezetbe a geometria területéről válogattunk feladatokat.

Diákjaink számára a különböző tárgykörök, pl. a geometria és a kombinatorika (vagy valószínűségszámítás) összekapcsolása már önmagában is érdekes. Az alábbi területekről mutatunk példákat:
- klasszikus valószínűség geometriai objektumok körében;
- klasszikus valószínűség meghatározása geometriai leírás segítségével;
- megoldás valamilyen geometriai megfeleltetés segítségével (geometriai valószínűségi mező);
- geometriai paradoxonok (5. fejezet).

A geometriai valószínűségi mezőben az egyes események valószínűsége a hozzájuk rendelt geometriai mértékkel arányos. Tehát a klasszikus valószínűség véges sok, egyformán valószínű alapesetre felírható (kedvező esetek száma)/(összes eset száma) meghatározási formuláját több szempontból is módosíthatjuk:
- végtelen sok eseményt is lekezelhetünk;
- az alapesetek nem szükségképpen egyformán valószínűek;
- a formula (megfelelő alakzat mértéke)/(teljes alakzat mértéke) alakra változik.

A geometriai valószínűséggel megmutatható, hogy van olyan 0 valószínűségű esemény, ami bekövetkezhet. Ez a diákok fantáziáját már önmagában is izgatja; motiváltságukat tovább növelhetjük, ha a geometriai valószínűség segítségével eljutunk pl. a feltételes valószínűség fogalmához. (A kombinatorika összeadási és szorzási szabályát átvihetjük a valószínűségekre is.)

A cikk későbbi fejezeteiben is találkozunk geometriai módszerek alkalmazásával.

Klasszikus valószínűség geometriai objektumok körében

1.1. feladat:

Az I., ill. II. pörgettyű körcikkeit kifestettük a piros, sárga, kék, zöld színekkel (ábra). Ebben a játékban akkor nyerünk, ha előbb az I., majd a II. korongot megpörgetve lila színt kapunk (kék + piros). Mennyi az esélyünk a nyerésre? (A félkörnél kisebb körcikkek mindkét pörgettyűn egybevágók egymással.)

Első megoldás:

A kombinatorika összeadási és szorzási szabályát alkalmazzuk.

Az első esetben I = piros és II = kék színek valószínűsége , a második esetben I = kék és II = piros, ennek valószínűsége . Mivel vagy az első, vagy a második eset következik be, a lila szín előállásának valószínűsége.

Második megoldás:

A pörgetések lehetséges kimeneteleinek egy 4x6-os táblázat mezőit feleltethetjük meg.

 II. pörgettyű:     p   s   z   k   k   k 
 I. pörgettyű:   p             
   s             
   z             
   k             

Látható, hogy a 24 egység területű táblázatból 6 egységnyi terület a megfelelő.

1.2. feladat (KöMaL F995.):

Mekkora annak a valószínűsége, hogy az 1, 2, ..., 179 fokos szögekből tetszés szerint választott 3 szög egy különböző oldalú háromszög három szöge?

Megoldás:

A szögeket jelöljük x < y < z-vel, s végezzük el a következő becslést: x + y = 180° – z, ezért x + y < 180° – y, s innen . Ezután határozzuk meg az egyes x értékekhez tartozó lehetséges y értékeket:
ha x = 1°, y ∈ {2°, 3°, … , 89°}, 88 lehetőség;
ha x = 2°, y ∈ {3°, 4°, … , 88°}, 86 lehetőség;
ha x = 3°, y ∈ {4°, 3°, … , 88°}, 85 lehetőség;
ha x = 4°, y ∈ {5°, 4°, … , 87°}, 83 lehetőség;
…
ha x = 57°, y ∈ {58°, 59°, 60°, 61°}, 4 lehetőség;
ha x = 58°, y ∈ {59°, 60°}, 2 lehetőség;
ha x = 59°, y ∈ {60°}, 1 lehetőség.

Könnyen bizonyítható a szabályosság: ha x a páratlan (vagy páros) számokon fut, a lehetőségek száma hármasával csökken. A lehetőségek számai között a 3-mal oszthatóak fognak hiányozni, a kedvező lehetőségek száma tehát (1 + 4 + 7 + … + 88) + (2 + 5 + 8 + … + 86) = 2611. Az összes lehetőség , a keresett valószínűség .

További feladatok:

1.3. feladat:

Mekkora annak a valószínűsége, hogy az 1, 2, ..., 179 fokos szögekből tetszés szerint választott három szög egy háromszög három szöge?

1.4. feladat:

Tetszőlegesen kiválasztunk az [n + 1, 2n] zárt intervallumból három számot. Mi annak a valószínűsége, hogy a három szám egy egyenlő szárú háromszög három oldalának mérőszáma?

Geometriai támogatás

1.5. feladat:

Egy egér az A jelű pontból elindul az ábrán jelölt járatokon lefelé, mert sajtszagot érez. A sajtszag egyformán érezhető mindegyik csatornában, így az egér az elágazásokban egyforma valószínűséggel választ az egyes járatok között (visszafelé nem fordul). Sajt csak bizonyos járatok végén található az ábra szerint (S).

Mekkora annak a valószínűsége, hogy az egér megtalálja a sajtot?

Megoldás:

Az összeadási és szorzási szabályt alkalmazhatjuk. Így a három esetben rendre , ,  valószínűségeket kapunk, a sajt megtalálásának valószínűsége ezek összege, .

1.6. feladat:

Egy 4x4-es négyzetrács alakú labirintus két átellenes csúcsában - a kijáratoknál - egy egér és egy macska van. Mindketten adott jelre, ugyanakkora sebességgel elindulnak a szemköztes kijárat felé úgy, hogy minden lépésben közelednek céljukhoz (ábra). Egymást nem látják, útválasztásuk az elágazásokban véletlenszerű. (Ez azt jelenti, hogy amikor elágazáshoz érnek, a lehetséges két irány közül egyforma valószínűséggel választanak.)

Mekkora annak a valószínűsége, hogy találkoznak?

Megoldás:

A találkozás a négyzet átlója mentén történhet. Fentről lefelé haladva rendre 1, 4, 6, 4, 1 út vezet mindkét oldalról a találkozási pontokba, így a kedvező esetek száma 12 + 42 + 62 + 42 + 12 = 70. Mivel az első négy lépést a macska is és az egér is tetszőlegesen választhatja ki két irány közül, mindketten 24-féle utat tehetnek meg. Az összes eset száma tehát 24·24 = 28, a keresett valószínűség  ≈ 0,273.

Megjegyzés:

Könnyű n x n-es táblázatra általánosítani, a formula .

Sőt, az egér és a macska útját együtt felfoghatjuk egy olyan (egyetlen) útnak, amely az egér és a macska kezdeti helyét köti össze, ezért a kapott formula egyenlő -nel is.

További feladatok:

1.7. feladat:

Az ábra szerinti labirintusban a B bejáratból indulunk, fentről lefelé haladunk a járatokban. Az elágazásokban az egyes járatok közül a rájuk írt valószínűségekkel választunk (nem jelöltük a 0,5 valószínűségeket). Mekkora annak a valószínűsége, hogy kijutunk valamelyik K kijáraton?

1.8. feladat:

Egy Bolyongó Béka kezdetben a számegyenes 0 pontjában áll. A Béka minden lépésben véletlenszerűen lép jobbra vagy balra egy egységnyit. Mekkora annak a valószínűsége, hogy 10 lépés után
a) az 5 pontban lesz;
b) a 6 pontban lesz?
c) Melyik pontban lesz legnagyobb valószínűséggel 10 lépés múlva?

1.9. feladat:

A Bolyongó Béka most a számegyenes [– 5, 7] zárt intervallumán bolyong. (Ha a Béka az intervallum valamelyik végpontján túlra ugrik, akkor véglegesen eltűnik a szemünk elől.)
a) Mekkora most annak a valószínűsége, hogy 10 lépés után a 6 pontban lesz?
b) Mekkora annak a valószínűsége, hogy elég sok lépés után jobbról hagyja el az intervallumot?
c) Átlagosan hány lépésben hagyja el az intervallumot?

Megjegyzés:

A b) és c) feladatok megoldásai legegyszerűbben a Markov-láncok segítségével végezhetők el. A javasolt szakirodalmon kívül ebből a témából érdekes példák találhatók a következő címen: (link).

Geometriai megfeleltetés (geometriai valószínűségi mező)

1.10. feladat:

4 mm-es átmérőjű drótból készített kerítésen a szomszédos vízszintes és függőleges merevítő drótok tengelyeinek távolsága 10 cm. (Ez egy nagyon ritka kerítés.) Mekkora valószínűséggel ütközik valamelyik drótdarabnak egy véletlenszerűen kilőtt 4 mm-es sörétszem? (Feltehetjük, hogy a kerítés szabályos négyzetrács, és a sörét a kerítés bármely pontjára ugyanakkora valószínűséggel érkezik.)

Megoldás:

Egybevágó négyzetekkel fedhetjük le a rácsot, a négyzetek oldala a szomszédos drótok tengelyeire esik (ábra).

A négyzet oldala 10 cm, ezeken belülre nyúlik a kerítés drótjából 2 mm. Akkor nem fog a kerítésnek ütközni a sörét, ha középpontja ettől a benyúlástól még legalább 2 mm-rel beljebb esik. Tehát az esemény szempontjából a teljes alakzat 10 cm oldalú négyzet, a komplementer esemény „kedvező” alakzata pedig egy 9,2 cm oldalú négyzet. Az áthaladási valószínűség

 ≈ 0,8464, az ütközési valószínűség tehát ≈ 0,15.

Megjegyzés:

"A sörét a kerítés bármely pontjára ugyanakkora valószínűséggel érkezik" - ez a valószínűség természetesen 0 (bár nem lehetetlen esemény). Valójában azzal a feltevéssel élünk, hogy annak valószínűsége, hogy a sörét a kerítés valamely adott területére érkezik, arányos a terület nagyságával. Ez persze csak egy modell, melynek legfőbb előnye, hogy matematikailag könnyen kezelhető.

1.11. feladat:

a) Egy sörétes patron 10 darabot tartalmaz a 4 mm-es átmérőjű sörétszemekből. Mekkora valószínűséggel halad át mind a 10 sörétszem a kerítésen?
b) És ha a patron 20 szemet tartalmaz?

Megoldás:

a) 0,846410 ≈ 0,1887, vagyis az ütközésmentes áthaladásra még 20% esély sincs.
b) 0,846420 ≈ 0,0356 a valószínűség, tehát rendkívül kicsi.

Megjegyzés:

Kicsit megvizsgálva 0,8464 hatványait, meglepő eredményekre jutunk. 0,84644 ≈ 0,5132, tehát már 4 sörét esetén is kb. ugyanakkora valószínűséggel történik a sima áthaladás, mint az ütközés; nagyobb sörétszemekre pedig az érték rohamosan csökken. A jelenség neve a „kis valószínűségek paradoxona”, erről valamivel részletesebben a 3.7. feladatban olvashatunk.

1.12. feladat:

Egy pálcát véletlenszerűen kettétörünk. Jelöljük a pálca végponjait A-val és B-vel,  a töréspontot Q-val.
a) Mekkora a valószínűsége annak, hogy a Q pont közelebb lesz A-hoz, mint B-hez?
b) Mekkora a valószínűsége annak, hogy a törés után az egyik szakasz legalább kétszer akkora lesz, mint a másik?

Megoldás:

a) Az eredmény nyilván .
b) A három egyenlő részre osztott pálca középső harmadába nem eshet a töréspont. A keresett valószínűség .

1.13. feladat:

Egy pálcát véletlenszerűen három részre törünk. Jelöljük a pálca végponjait A-val és B-vel, a töréspontokat Q-val és R-rel. Mekkora a valószínűsége annak, hogy a törés után a három szakaszból háromszög szerkeszthető?

Megoldás:

Tekintsük egységnyinek a pálca hosszát, s legyen AQ = x, AR = y. Feleltessük meg a két töréspontot a sík egységnégyzete (x, y) pontjának; az (x, y) pont véletlenszerű kiválasztása ekvivalens a két töréspont megjelölésével. Két esetet különböztetünk meg:

I. eset: Ha x < y, akkor a három szakasz hossza x, y – x, 1 – y. Ezekre kell a háromszög-egyenlőtlenségnek teljesülnie, a kapott feltételek: x < , y > , y < x + .

A ponthalmazoknak megfelelő tartományt az ábrán I-gyel jelöltük.

II. eset: Ha y < x, akkor szerepcserével y < , x > , x < y + . A ponthalmazt II-vel jelöltük.

Az egyenlőtlenség-rendszernek eleget tevő pontok halmaza az I. és II. tartomány, a keresett valószínűség .

Megjegyzés:

A kimaradt x = y eset annak felel meg, ha a Q és R töréspont egybeesik. Ennek az eseménynek 0 a valószínűsége (bár nem lehetetlen esemény).

1.14. feladat:

Két személy megbeszéli, hogy de. 10 és 11 óra között találkoznak. Érkezésük ezen időszak közben véletlenszerű. Mi annak a valószínűsége, hogy az előbb jövőnek nem kell negyed óránál többet várnia?

Útmutatás:

Az előző megoldás gondolatmenetét alkalmazhatjuk. Érkezzék az egyik személy x, a másik y órával 10 óra után (x, y ≤ 1), s az érkezésüket feleltessük meg ismét az egységnégyzet (x, y) koordinátájú pontjának. Ekkor az  ponthalmaz területét kell meghatároznunk.

Eredmény:

A keresett valószínűség .

Következő fejezet    Tartalom