Gerőcs László: Quo vadis, matematikaoktatás? - avagy egy számtantanár skrupulusai
2007. június 9.
Állítólag Teller Ede mondta egyszer egy baráti összejövetelen: "Az, hogy a XX. század első felében oly sok magyar természettudós juthatott el tudományának akkori csúcsaira, elsősorban annak köszönhető, hogy olyan iskoláink, olyan pedagógusaink voltak, akik számára főként a gondolkodási képességek fejlesztése volt a legfontosabb."
Most - túl a kétszintű érettségi első néhány hivatalos "fordulóján" - újra végiggondolva az érettségi vizsgákon a növendékek számára kitűzött problémákat, jogosan, sőt szükségszerűen vetődik fel a címben feltett kérdés.
Hogy minderre sor kerül, már jó 6-7 éve tudtuk. Hogy mindez alapvetően megváltoztatja a követelményrendszert, azzal is tisztában kellett lennie a középiskolákban tanító matematika-tanároknak. Hogy ezzel együtt a tananyag is alaposan átrendeződik, az sem okozhatott meglepetést senkinek. Azt is hallhattuk akkoriban hivatalos helyről, hogy "nem kell félni, könnyebb lesz például az emelt szint, mint az eddigi felvételi feladatsorok", így hát erre is számítanunk kellett. De hogy oly igénytelen problémák elé állítsuk a felsőoktatásba igyekvő diákjainkat, mint például a 2005-ös évben is történt, nos, arra kevesen számítottak. (Az eredmény ismert, a pontszámok körüli mizériákról már eleget hallhattunk, s alaposan megszenvedték a felsőoktatási intézmények, hogy a sok-sok maximális pontú diákkal szinte lehetetlen volt "széthúzni" a mezőnyt, s a nyelvvizsgák száma lett sok esetben a rendező elv egy-egy diák egyetemre való bejutásánál.) Azóta már a hatodik hivatalos emelt szintű érettségi zajlott le, s az ezeken kitűzött feladatokat vizsgálva sajnos nem sokkal jobb a helyzet, s az idei év minderre "feltette a koronát": olyan egyszerű, már-már típusfeladatként is a könnyebbik fajtából való problémákkal kellett szembenézniük a diákoknak, melyek néhány évvel ezelőtt (a témaköröktől eltekintve) legfeljebb a "normál" érettségin szerepelhettek volna. Az ok legfeljebb sejthető: azzal, hogy a felsőoktatási intézmények négy éve bejelentették: nem követelik meg az emelt szintű érettségit a falaik közé igyekvő diákoktól, a legfelső vezetés már csak rossz döntést hozhatott.
Nem ennek az újságnak a hasábjaira való az eddigi közép- és emelt szintű érettségi matematika feladatsorok szakmai, szakdidaktikai és módszertani elemzése, azt azonban leszögezhetjük - összehasonlítva ezeket a korábbi évek hagyományos érettségi és felvételi feladatsoraival -, hogy ilyen követelményrendszer megtartásával a gondolkodási képességek fejlesztésének legfőbb tárgya - a matematika - olyan fokú színvonalvesztéssel jár, mely óhatatlanul kihat szinte valamennyi mélyebb, tisztább gondolkodást igénylő tevékenységünkre.
Mert mi is a matematika oktatásának oka, célja, szerepe és funkciója abban a nagy, komplex egységben, amit oktatásnak nevezünk?
Sokszor kérdezik tőlem, miért kell nekünk olyan "borzalmas" dolgokkal traktálni a fiatalságot, mint például a logaritmus azonosságai vagy a koszinusztétel, netán a csonka gúla térfogata stb., hiszen a gyerekek nagy többségének minderre soha az életben nem lesz szüksége? Miért nem igazán konvertálható tudást adunk diákjainknak?
Nos, azzal maximálisan egyet lehet érteni, hogy a felnövekvő nemzedéknek konvertálható tudásra van szüksége. Csupán attól tartok, sokan nem ugyanazt értjük ezalatt. Mert valóban egy péknek vagy autószerelőnek, egy irodai alkalmazottnak, menedzsernek vagy egy bölcsésznek, jogásznak tényleg soha nem lesz szüksége például a logaritmus azonosságaira. De jó lenne, ha a döntéshozók is megértenék: mindezeket a dolgokat nem azért tanítjuk, mert valaha is használni fogja őket a diák, hanem azért, mert miközben a tanulók agyában végigvonul az a gondolkodási lépéssorozat, míg a megértés, a felfedezés, az alkalmazás különböző szintjei önállóan beépülnek gondolkodásának struktúrájába, addig olyan fejlődésen, csiszoltságon megy keresztül a gondolkodásának képessége (amit persze maga a diák sem vesz észre), hogy a folyamat végén (az érettségi vizsga tájékán) valóban tiszta fejjel, logikusan, fegyelmezetten gondolkodó ember válik (válhat) belőle. S bárhová is kerül az életben a diák, ezekre a képességekre mindenütt óhatatlanul nagy szüksége lesz, e képességeket mindenütt nagy haszonnal tudja majd alkalmazni leendő munkahelyein. Ez az igazi konvertálható tudás, így ezek fejlesztésére kell (kellene) a legnagyobb hangsúlyt fektetnünk.
Az emberi gondolkodás különböző szeleteinek - mint például absztrakciós készség, asszociációs készség, logikai készség, kreativitás, lényeglátó képesség, szelektálóképesség, a gondolkodás tisztaságának, fegyelmezettségének képessége, a térbeli tájékozódás képessége stb., stb. - mind-mind olyan adottságok, amelyek csiszolására, fejlesztésére leginkább a matematika tárgya alkalmas. Még akkor is tudatosítani kell ezt magunkban - de legfőképpen a diákjainkban -, ha a folyamat lassú, nem igazán látványos, s nagyon keményen meg kell küzdenie a témával, no meg önmagával a diáknak, hogy tisztán befogadja, értse és alkalmazni tudja a tanultakat. Hisz valljuk meg, a matematika - meg tán a testnevelés - az a tárgy, mely leginkább frusztrálja a tanulókat, hiszen többek között ezen keresztül éli meg mindenki egészen plasztikusan saját szellemi - vagy testi - korlátait. Ezen keresztül tapasztalhatja meg legjobban a diák, hogy "akarom, de nem megy". Mert ha mondjuk például földrajzból kap egy elégtelent a tanuló, hát tudja, hogy nem készült, egyest kapott. De tudja azt is, hogy ha akarja, másnapra felkészülhet, s akár ötöst is szerezhet. Nos, a matematika - tudjuk - nem ilyen. Csak lassú, nagyon lassú folyamat a tárgy teljes befogadása, csak nagyon lassan érik meg az a sokfajta gondolkodási képesség, amiről az imént beszéltünk, így nem lehet látványos, de végeredménye egész életre kiható gondolkodási struktúrát eredményez, amit valóban nevezhetünk igazán konvertálható tudásnak.
Visszatérve hát a kétszintű érettségi követelményeihez, úgy tűnik, a kívánt képességek kialakításának lehetőségei alapos csorbát szenvednek, ha csupán ennyit kívánunk meg azoktól a diákoktól, akik a felsőoktatásban akarják folytatni tanulmányaikat. (Első alkalommal például volt olyan feladat az emelt szintű érettségi vizsgán, melyben négy kérdésre kellett válaszolniuk a vizsgázóknak igennel vagy nemmel, s a feladat kitűzői még csak indoklást sem kívántak a megadott válaszokhoz - azt hiszem, ilyenre még soha nem volt példa. Az idei emelt szintű érettségi egyik feladatában pedig pontosan ugyanazt a kérdést tették fel a diákoknak, amely Angliában óriási botrányt váltott ki egyszerűsége, igénytelensége, színvonaltalansága miatt - lásd HVG 2007. május 3.)
Természetesen csak egyetérteni lehet azzal a szándékkal, hogy nagyobb hangsúlyt kell helyeznünk a szövegértés kérdésére, s azzal is, hogy el kell tolnunk a matematika oktatását valamelyest a gyakorlati élet irányába. Nos, ami a szövegértést illeti, azt gondolom - e tárgyon belül - jóval inkább a figyelem összpontosítása, a koncentrációs képességek fejlesztése a perdöntő, ellentétben olyan tárggyal, mint például a magyar irodalom, ahol törvényszerűen más fajta szövegértési adottságok kellenek, mint a matematikában. Csak hogy egy példát említsek: a közelmúltban emelt szintű felkészítő előadást tartottam kb. 300 diák számára, valamennyien 12.-es tanulók, vélhetően többségüknek a matematika az egyik fő tárgy tanulmányaikban. A következő kérdést tettem fel: "Elmegy a lókupec a vásárra és vesz egy lovat 500-ért, majd eladja 600-ért. Aztán - miközben hazafelé ballag - így töpreng magában: de ostoba voltam, ezért a lóért többet is kérhettem volna. Visszamegy a vásárra, megkeresi a vevőt és visszavásárolja tőle a lovat 700-ért. Végül eladja 800-ért. Kérdés: mennyi a lókupec aznapi végső egyenlege? Nyert (ha igen, mennyit), veszített (ha igen, mennyit), esetleg éppen 0-n van?" Nos, a kérdésre a 300 diáknak kb. 60 százaléka nem tudott helyesen válaszolni. Ugyanakkor ugyanezek a diákok a feladatmegoldások során az igen összetett, "finom" logaritmikus egyenlőtlenség-rendszert meglehetősen jól tudták kezelni, többségük eljutott annak helyes megoldásához.
Mit is mutat ez a tünet? Azt, hogy míg diákjaink a matematikai modellek kezelésében általában jól vizsgáznak, a tiszta fejjel való gondolkodás, a fegyelmezett és lényeglátó gondolkodás területén már sok hiányosságot mutatnak. Ugyanerről a tőről fakad, hogy a sikeres modellkezelés mellett a modellalkotás - egyenlet, függvény, ábra, gráf stb. - már sokaknál nagyon nehezen megy.
De hát nem is csodálkozhatunk mindezen, ha azt tapasztaljuk az elmúlt években, hogy a matematika egyik leglényegesebb területe, a geometria oktatása is egyre silányabb helyzetbe kerül. Három évtizedes tanári tapasztalat mondatja velem - s ezzel nagyon sok kolléga egyetért -, hogy a gondolkodás fejlesztésének, pontosabban a kreativitás fejlesztésének egyik legkiválóbb terepe a geometria. Hiszen a matematikának ez a szelete az, amelyet nem lehet könnyen "algoritmizálni", nem lehet egyszerű sémákat, módszereket találni a problémák felvetéséhez és megoldásához. Ide alkotó ötletek kellenek, no meg persze az is, hogy minél többet "nézzen" és "lásson" a diák a geometria világából, a geometria törvényszerűségeiből. Tán nem véletlen, hogy Kanadában (Coxeter hazájában) éppen az elmúlt években kezdték "újra felfedezni" a geometria oktatásának a gondolkodás fejlesztésére tett hatását, s éppen hazánkból hívtak szakembereket, hogy segítsenek a középiskolai geometriaoktatás átdolgozásában.
Ami pedig a gyakorlat felé való közelítést illeti, nos úgy vélem, erre nem azért van szükség, hogy növendékeink majdani felnőtt korukban "gyakorlatiasabb", "talpraesettebb", a világ dolgaiban könnyebben eligazodni tudó felnőttek legyenek (bár így lenne!). De sokkal inkább a motiváció miatt. Azért, hogy igazán érzékelhető legyen a diákok számára: a matematika nem egyszerűen egy tárgy, szükséges rossz púp a hátukon, hanem egy olyan nagyszerű szellemi játék, egy olyan óriási szellemi kaland, melynek felmérhetetlenül sok praktikus haszna van. Ezért kellenek a gyakorlatiasabb, akár "meseszerűen" felvezetett megfogalmazások, tálalások. Hogy mind érdekesebbé téve, minél "eladhatóbbá" téve a tudomány rájuk eső szeletét, mintegy kedvet is tudjunk csinálni a problémákkal való foglalkozáshoz. Nem mindegy, hogy egy kérdést így kezdünk tálalni: "Vegyünk fel egy gömbön néhány pontot, ezt meg azt kössük össze, és bizonyítsuk be, hogy..." vagy pedig így: "Micimackó és Malacka világgá mentek..." Pedig ugyanarra vezet mindkét tálalás, ugyanazt a gondolkodási folyamatot akarjuk elérni mindkettővel, ugyanazt a feladatot tárjuk a gyerekek elé, és mégis... micsoda különbség a fogadtatásban, micsoda különbség az odafigyelésben, a motivációban.
Vajon hová vezethet az a folyamat, az az út, melyen elindultunk a matematika szűkített tananyagát és az újfajta követelményrendszert tekintve? Sok felsőoktatásban dolgozó kollégától hallottam már a panaszt, miszerint az idei első éves hallgatók - akiknek fő- vagy alapozó tárgy a matematika - körében a vizsgaidőszakban a bukottak aránya többszöröse annak, mint amit a korábbi években megszoktak. Igen, a fentiekből egyenesen következik, hogy ennek törvényszerűen így kellett lennie. Sajnos már a tanár szakos hallgatókon is erősen érzékelhető - tisztelet a kivételnek -, hogy szakmai felkészültségük, módszertani repertoárjuk, érdeklődésük és motiváltságuk jóval szerényebb, mint mondjuk a 15-20 évvel ezelőttieké. Félő, hogy ezen az úton elindulva a tisztább gondolkodás irányában tett erőfeszítéseink még kevésbé járnak sikerrel. Egyre mélyül az igénytelenség, s ha felnő így egy nemzedék, már nem is tehet mást, csak azt tudja továbbadni, amire képes, s így egyszersmind újratermelődik mindaz, ami miatt most a számtantanár berzenkedik.
Hadd idézzem Jeffrey J. McGovernt, aki szerint "Amerikában már sikerült...!"
"Matekóra 1950: Egy favágó egy teherautónyi fát 100 dollárért ad el. A költsége az ár 4/5 része. Mennyi a haszna?
Matekóra 1960: Egy favágó egy teherautónyi fát 100 dollárért ad el. A költsége az ár 4/5 része, vagyis 80 dollár. Mennyi a haszna?
Matekóra 1970: Egy favágó egy teherautónyi fát 100 dollárért ad el. A költsége 80 dollár. Keletkezett-e haszna?
Matekóra 1980: Egy favágó egy teherautónyi fát 100 dollárért ad el. A költsége 80 dollár, vagyis a haszna 20 dollár. Feladat: karikázd be a 20-as számot.
Matekóra 1990: Egy gyönyörű erdő kivágásával egy favágó 20 dollárt keres, mert önző, és nem törődik sem az állatok élőhelyével, sem erdőségeink megőrzésével. Mi a véleményed az ilyen foglalkozásról? Meséld el, hogyan érezhettek az erdő madarai és mókusai! (Minden válasz helyes!)
És a valóság: a múlt héten vettem egy hamburgert 1 dollár 58 centért. Fizetéskor egy kétdollárost és még 8 centet adtam. A pénztároskislány kétségbeesetten nézett rám, nem értette a dolgot. Mondtam, adjon vissza egy féldollárost, de még mindig nem értette, odahívta a vezetőt, aki megpróbálta elmagyarázni a helyzetet. Végül a kislány elsírta magát."
Vajon ezt akarjuk?
Vajon mit szólna Teller Ede, ha látná, milyen problémák elé állíttatik a közép-, illetve emelt szinten érettségiző diák matematikából? Valószínű, megfordulna sírjában, s csak ennyit mondana: "Quo vadis matematikaoktatás?"
